rówania czarny: Rozwiąż równania: a) 5^x−5^3−x=20 b) 8^x+18^x−2*27^x=0 c) (√2−√3)^x + ( √2+√3)^x = 4

Mickej: a)5^x−125*5^−x=20 5^x=t t>0

	125
t−		−20=0 *t
	t

t²−125−20t=0 teraz delta pierwiastki jeżeli pierwiastek wyjdzie ujemny jeżeli dodatni to podstawiasz 5^x=pierwiastek i wyzliczasz x tak z każdym przykładem

czarny: dzięki za podp. w a, możesz mi pomóc z b i c? b) 2^3x + (2*3²)^x − 2*3^3x = 0 i nie wiem gdzie teraz podstawić t bo i tak zostaje x przy innej cyfrze c) (2− √3)^x₂ + (2+ √3)^x₂ = 4 i co dalej?

Mickej: Hmmm w sumie b jest ciekawe jeszzcze z takim przykładem się nie spotkałem skąd ty te zadania masz? b)2^3x + (2*3²)^x − 2*3^3x = 0 podzielmy przez 2^3x i mamy

23x		(2*32)x		2*33x
	+		−		=0
23x		23x		23x

	32x		33x
1+		−2*		=0 co ostatecznie
	22x		23x

	3		3
1+(		)2x−(		)3x=0 a dalej to już wiesz
	2		2

	3
t=(		)x i jedziesz
	2

czarny: dzięki, zadania mam od korepetytora ale skąd on takie bierze to nie mam pojęcia a możesz pomóc mi przy c?

Mickej: a co do c) to (2− √3)^x\2 + (2+ √3)^x\2 = 4 obustronnie ()² i mamy (2−√3)^x+(2+√3)^x+2((2− √3)(2+ √3))^x\2=16 gdzie 2((2− √3)(2+ √3))^x\2=2 i chyba wiesz dlaczego dalej mamy (2−√3)^x+(2+√3)^x=14 dzielimy przez (2−√3)^x i mamy

	(2+√3)
1+(		)x=14
	(2−√3)

	(2+√3)
(		)x=13
	(2−√3)

	(2+√3)		(2+√3)
x=log(		)13 gdzie (		) to podstawa log
	(2−√3)		(2−√3)

Mickej: a jeśli to maturalne to na maturze takich nie ma ale fajnie mi się to robi

Mickej: halo halo a gdzie flaszka za pomoc

czarny: czy w b x=0? bardzo ciekawe zadania mozesz jeszcze zerknąć na zad. z prawdopodob.?

Mickej: gdzyby x=0 to po podstawieniu miał byś 1+1−1≠0 czyli nie

Mickej: przy prawdopodobieństwie widziałem że już Bogdan ci pomógł

czarny: chyba jednak będzie 1+1−2*1=0 dzieki wielkie

Bogdan: (2 − √3)^x + (2 + √3)^x = 4

	(2 + √3)		4 − 3		1
(2 − √3) = (2 − √3) *		=		=
	(2 − √3)		(2 + √3)		(2 + √3)

	1
(		)x + (2 + √3)x = 4
	(2 + √3)

(2 + √3)^x = t, t > 0

1
	+ t = 4 mnożymy obustronnie przez t
t

1 + t² = 4t => t² − 4t + 1 = 0, Δ = 12, √Δ = 2√3,

	4 − 2√3		1
t1 =		= 2 − √3 =		= (2 + √3)−1
	2		2 + √3

	4 + 2√3
t2 =		= 2 + √3
	2

(2 + √3)^x = (2 + √3)⁻¹ => x = −1 lub (2 + √3)^x = (2 + √3)¹ => x = 1

Mickej: ta wartość w nawiasie jest pod pierwiastkiem Bogdanie chyba jeszcze

czarny: tylko, że w przykładzie jest (√2−√3)^x + (√2+√3)^x = 4

czarny: Mickej może być taka flaszka?

Bogdan: czarny − przecież uwzględniłem 4.

1
	+ t = 4, 4 zostało przeniesione na lewą stronę równania.
t

1
	+ t − 4 = 0 mnożymy obustronnie przez t i otrzymujemy równanie kwadratowe.
t

t² − 4t + 1 = 0

Bogdan: Tak Mickej, uciekł mi pierwiastek, ale postępowanie jest podobne, zaraz pokażę

czarny: nie chodziło mi o 4 tylko o √

Bogdan: (2 − √3)^x/2 + (2 + √3)^x/2 = 4 (2 + √3)^x/2 = t

	1		1
2 − √3 =		=
	2 + √3		t

1
	+ t = 4 => t2 − 4t + 1 = 0
t

	1		x
t1 = 2 − √3 =		=> (2 + √3)x/2 = (2 + √3)−1 =>		= −1
	2 + √3		2

Bogdan:

	x
t2 = 2 + √3 => (2 + √3)x/2 = (2 + √3)1 =>		= 1
	2

x₁ = −2, x₂ = 2

Bogdan: Ogólnie: (a − b√c)^r + (a + b√c)^r = d (a + b√c)^r = t, t > 0

	1
a − b√c = (a + b√c)−1 =
	t

1
	+ t − d = 0 mnożymy obustronnie przez t
t

t² − dt + 1 = 0, Δ = d² − 4, Obliczamy t₁ oraz t₂ i porównujemy z (a + b√c)^r, stąd wyznaczamy r.

czarny: dzięki wielkie, już pojąłem

suchy: rozwiąż równanie |2+x|= √3 |x+1|= − 1 |x+¹₄| = ¹₂