udowodnij indukcja matematyczna maciej: (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+...+(4n−1)=3n²

Maslanek: 1) Sprawdzam dla jakiego najmniejszego n, to możliwe: dla n=0: L=−1; P=0 dla n=1: L=4−1=3; P=3. 2) niech n≥k, k∊N₊ zał: (2k+1)+(2k+3)+(2k+5)+...+(4k−1)=3k² teza: (2k+1)+(2k+3)+(2k+5)+...+(4k−1)+(4k+3)=3(k+1)² dowód: L=(2k+1)+(2k+3)+(2k+5)+...+(4k−1)+(4k+3) = (zal.) =3k²+4k+3=3(k+1)²−2k≠(teza)... Jesteś pewny, że jest tak jak na górze?

Basia: musi być indukcja ? mamy tu ciąg arytmetyczny a₁ = 2n+1 r = 2 a_n = a₁ + (n−1)*2 = 2n+1 + 2n −2 = 4n −1

	a1+an		2n+1+4n−1
L = Sn =		*n =		*n = 3n*n = n2 = P
	2		2

Basia: teza jest poprawna; tylko z tym dowodem indukcyjnym coś nie tak mnie wyszło tak samo; dlatego zaproponowałam inny sposób muszę rozgryźć gdzie jest haczyk

Basia: albo jednak z tą tezą; w każdym razie haczyk gdzieś jest

Basia: już wiem gdzie jest błąd dla n=1 mamy 2n+1 = 3 i 4n−1 = 3 L = 3 P = 3*1² = 3 ale już dla n=2 mamy 2n+1 = 5 i 4n−1 = 7 L = 5+7=12 P = 3*2² =12 dla n = 3 mamy 2n+1 =7 i 4n−1 = 11 L = 7+9+11 = 27 P = 3*3² = 27 T: (2(k+1)+1) + (2(k+1)+3) + .....+(4k−1)+(4k+1)+(4k+3) = 3(k+1)² w tej sumie nie ma 2k+1 jest za to 4k+1 dowód: L = (2k+3) + (2k+5) +.... +(4k−1)+(4k+3) = 3k² − (2k+1) + 4k+1 + 4k+3 = 3k²+6k + 3 = 3(k²+2k+1) = 3(k+1)² c.b.d.u.

maciej: T: (2(k+1)+1) + (2(k+1)+3) + .....+(4k−1)+(4k+1)+(4k+3) = 3(k+1)2 a mogłabyś wytłumaczyć skąd co się bierze?

Maslanek: Krok indukcyjny. Jeśli spełnione jest to dla k, to sprawdzam czy jest też spełnione dla k+1. −−−−−−−−−−−−−− Trochę to durne... Bo skoro nie działa tak, to powinno zadziałać dla (...) + (4k+1) Tymczasem... też nie działa

maciej: http://www.flickr.com/photos/dwread/6017914451/sizes/l/in/photostream/

Basia: no przecież rozpisałam na niebiesko jest zaznaczone to co jest wspólne w lewej stronie Z i T Z: (2k+1)+(2k+3)+.....+(4k−5)+(4k−3)+(4k−1) = 3k² stąd mamy Z:(przekształcone) (2k+3)+.....+(4k−5)+(4k−3)+(4k−1) = 3k² − (2k+1) piszemy tezę indukcyjną wstawiając wszędzie w miejsce k k+1 T: [2(k+1)+1] + [2(k+1)+3] +.....+[4(k+1)−5] + [4(k+1)−3] + [4(k+1)−1] = 3(k+1)² dowód: L_T = (2k+3)+(2k+5)+....+(4k−1)+(4k+1)+(4k+3) = 3k² − (2k+1) + (4k+1)+(4k+3) = k² + 6k +3 = 3(k²+2k+1) = 3(k+1)² = P_T

Eta: Ochh ... masz ode mnie

Basia: Witaj Eto ; już schrupałam, dobre było

Eta: Witam również

Maslanek: Wiem, wiem Ale to irytujące