Znajdź resztę z dzielenia wielomianu. królik: Reszta z wielomianu W(x) przez dwumian x−3 wynosi 6, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x+1 wynosi −2. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez x²−2x−3.

Maslanek: W(x):(x²−2x−3) = G(x) + R(x), gdzie R(x)=ax+b. Z twierdzenia o reszcie: (R(a)=W(a)) W(3) = 6 ⇔ 3a+b=6 W(−1) = −2 ⇔ −a+b=−2. Przedstawiam dowód twierdzenia W(x):(x−a)=G(x) ; R(x) W(x) = G(x)*(x−a)+R(x) R(x) = W(x) − G(x)*(x−a) R(a) = W(a).

królik: Szczerze przyznam, że niewiele mi to rozjaśniło, mógłbym prosić o dokładniejsze wyjaśnienie?

Maslanek: Dobra Już w pierwszej linijce zrobiłem błąd W(x):(x²−2x−3) = G(x) ; R(x) Stąd W(x) = G(x)*(x²−2x−3) + R(x). Jest twierdzenie, które mówi, że: Jeśli podzielimy wielomian W(x) przez dwumian postaci (x−a), to reszta z takiego dzielenia będzie równa W(a). Dla rozjaśnienia dowodu: Dwie ostatnie linijki to już właściwie końcówka. R(x) = W(x) − G(x)*(x−a) R(a) = W(a). Kiedy pod x podstawisz wartość a, to wtedy masz G(a)*(a−a) = G(a)*0 = 0. Zatem R(a) = W(a). Oraz korzystasz z jeszcze jednego twierdzenia na samym początku. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez G(x) jest wielomianem stopnia mniejszego od G(x). Zatem, kiedy G(x) = x²−2x−3, to jest to wielomian stopnia drugiego, zatem reszta jest stopnia mniejszego − pierwszego. Czyli R(x)=ax+b.

królik: Już wszystko rozumiem, dziękuję bardzo! : )