Zadania Godzio: Witam, zbliża się egzamin, a ja nie mogę sobie poradzić z paroma zadaniami, zapewniam, że nad nimi siedziałem, ale nic nie mogę wpaść, liczę na jakieś wskazów/ pomoc 1. Wyznacz dziedzinę zbieżności szeregu

	(2 + cos(nπ))n
a)∑n=1∞		* (x + 7)−n
	n2

Tutaj mi ten "−n" szkodzi w wykładniku i nie wiem jak się zabrać

	(−1)n
b)∑
	x   √n(1 + )   n

2. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową całek:

	lnxdx
a) ∫01		w zależności od parametru a > 0
	(1 − x)a

	(−1)[2x]dx
b) ∫∞1
	(arctgx)2

c) ∫^π/2₀√tgxdx

	lnsinx
d) ∫0π/2		dx
	√x

3. Obliczy granicę:

	1
a) limn→∞∑k=1n2		(dla k = 1 do n banalne, do n2 nie wiem )
	k2   n +   n

	1		2k + 1
b) limn→∞∑n−1k=0(		* (		)1/4
	n		n

4. Uzasadnij, że szereg funkcyjny

	1   ln(x + )   n
f(x) = ∑		jest zbieżny dla wszystkich x ≥ 1 i że tak określona funkcja f
	n2

jest ciągła na [1,∞) 5. Udowodnić, że funkcja s zdefiniowana poniżej jest funkcją różniczkowalną na podanym przedziale:

	cos(nx)		π		7π
s(x) = ∑∞n=1		, x ∊ [		,		]
	2 + n√n		4		4

Czy pochodna s' jest funkcją ciągłą na tym przedziale ? 6. Sprawdzić zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego na podanych przedziałach:

	2 + xn
fn(x) =		, n ∊ N [0,∞), [1,∞), [2,∞)
	3 + xn

Basia: ad.3a

1		1		n
	=		=
k2   n+   n		n2+k2   n		n2+k2

n² + k² ≤ 2n² bo 1≤k≤n²

	1		n
∑1...n2		= ∑1...n2		≥
	k2   n+   n		n2+k2

	n		1		1		n
∑1...n2		= ∑1...n2		= n2*		=		→ +∞
	2n2		2n		2n		2

chyba, że czegoś nie zrozumiałam

Godzio: Dzięki Nawet nie pomyślałem, żeby to w taki sposób robić

Godzio: Odświeżam

Krzysiek: 1)a) chyba nie ma znaczenia czy jest (−n) czy 'n' po prostu liczymy promień zbieżności z Cauchy'go Hadamarda limsup_n→∞ ⁿ√|a_n| b) skorzystałbym z kryterium Leibniza do zbadania zbieżności szeregu, dla jakich 'x' a_n jest malejący i zbieżny do zera 6) aby ciąg funkcyjny f_n był jednostajnie zbieżny, to funkcja f musi być ciągła a)dla x∊[0,∞) f(x)=2/3 dla x∊[0,1] 1 dla x>1 zatem f_n (x) nie jest jedn. zbieżna w tym przedziale

Godzio: Ok, dzięki