Rozwiąż podane równanie różniczkowe Sonia22: Rozwiąż podane równanie różniczkowe: y'−y=x² Jak się za to zabrać?

Sonia22: Jak to zrobić?:(

Krzysiek: równ. charakterystyczne równ. jednorodnego to: r−1=0 czyli r=1 zatem: y=Ce^1*x − rozw. równ. jednorodnego rozwiązanie szczególne niejednorodnego szukamy w postaci: y=ax² +bx+c wstaw do równania i wylicz a,b,c rozwiązanie ogólne to rozwiązanie jednorodne + szczególne

Sonia22: nic z tego nie rozumiem Co to równanie charakterystyczne równania jednorodnego? A jakie jest np. równanie charakterystyczne równanie dwurodnego ( jest coś takiego?) to y= Ce... co mi podales to jest stadard jakis we wszystki zadaniach? kurcze dalej nie wiem jak to zrobic:(

Sonia22: juz cos widze mamy rownania jednorodne i nie jednorodne

Krzysiek: jak nie miałaś tego, to równanie jednorodne wyliczysz rozdzielając zmienne lub korzystając ze wzoru: y' +q(x)y=0 więc: y=Ce^−∫q(x)dx

Sonia22: Kurcze mógłbyś mi rozpisać to całe zadanie a potem bym Ci zadała najwyżej pytanie co skąd się wzieło, bardzo proszę:(

Sonia22: Bardzo proszę:(

Krzysiek: masz równanie niejednorodne więc musisz rozwiązać najpierw jednorodne tzn: y' −y=0

dy
	−y=0
dx

rozdzielając zmienne:

	dy
∫		=∫dx (dla y≠0 , dla y=0 mamy 0=0 )
	y

czyli: ln|y|=x +c₁ |y|=e^x+c₁ =e^x *e^c₁ y=e^x *e^c₁ i jeszcze mamy rozwiązanie dla y=0 więc y₁ =e^x C (gdzie C może być równe zero) (podobnie można wykazać ten wzór który wyżej napisałem, zapewne miałaś to na ćw/wykładzie wyprowadzone...) a szczególne rozw. niejednorodnego szukamy metodą przewidywań y₂ =ax² +bx+c więc musisz wstawić to do równania i wyznaczyć a,b,c i rozwiązanie równania y'−y=x² to: y=y₁ +y₂

Sonia22: Mogłbyś mi rozpisać to : rodzielacaj zmienne bo nie wiem skad to sie bierze to

	dy
∫		=∫dx
	y

Krzysiek: 'y' na lewą stronę, mnożysz obustronnie przez 'dx' i dzielisz obustronnie przez 'y' ...

Sonia22: na lewą? nie na prawą?

Krzysiek: na prawą

Sonia22: i jeszcze mamy rozwiązanie dla y=0 dlaczego tak piszesz?

Krzysiek: bo dzielimy przez 'y' więc wtedy zakładamy, że y≠0 i rozwiązanie y=e^x e^c₁ nie obejmuje y=0 ponieważ prawa strona jest zawsze dodatnia a przecież wstawiając do równania: y' −y=0 y=0 jest równość, zatem rozwiązanie jednorodne to: y=e^x e^c₁ lub y=0 i możemy połączyć w jedno: y=Ce^x