Równanie krzywej Lukashem: x²+6xy+y²+6x+2y+m=0. sprawdź, czy istnieje takie m, że równanie przedstawia a) elipsę b)dwie proste Obróciłem tę krzywą o kąt π/4 i dalej nie wiem. WIem jaka ma postać ogólną elipsa lecz nie mogę znaleść m, lub nie umię. Jeśli chodzi o dwie proste to nie wiem nawet jakby to mogło być zapisane.

Artur_z_miasta_Neptuna: równanie dwóch prostych skośnych: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 szybkie spojrzenie na Twoją postać i piszesz ... dla m∊R co do elipsy ... jedyny sposób na pozbycie się elementu 6xy ... jest aby m=−6xy ... wtedy otrzymasz wzór elipsy (ostatecznie m=−6xy−C ... gdzie C∊(−10,+∞) )

Mila: Dlaczego obróciłeś o 45⁰, czy tak Ci wyszło z obliczeń?

Mila: Artur, chyba ma wyjść suma prostych?

Artur_z_miasta_Neptuna: Mila −−− w sumie nie ma tutaj napisanego o sumie prostych ... a niby jaki jest wzór dwóch prostych (równoległych?)

Basia: co do elipsy to nie jest tak jak napisałeś Arturze trzeba sprowadzić wzór do klasycznego wzoru elipsy co się uzyskuje przez obrót układu współrzędnych wtedy znika składnik Bxy potem już klasycznie

pigor: ... dwóch prostych dowolnych np. taki : c(y−ax−b)(y−cx−d)=0 ⇔ y−ax−b=0 lub y−cx−d=0 ⇔ y=ax+b lub y=cx+d , a więc dwóch prostych równoległych np. o współczynniku a=1 np. taki : (y−x−b)²=0 ⇔ y²+x²+b²−2xy−2by+2bx=0 ⇔ x²−2xy+y²+2bx−2by+b²=0 . ...

pigor: ... to c na początku we wzorze (równaniu) c(y−ax−b)(y−cx−d)=0 powyżej , nie jest potrzebne, a więc powinno być bez niego tak : (y−ax−b)(y−cx−d)=0 ⇔ ... itd ...

Mila: Po obrocie o 45⁰ otrzymałam: 4x²−2y²+4√2x−4√2y+m=0 liczę dalej

Basia: jeżeli dobrze policzyłaś to 4(x²+√2x) − 2(y+2√2y) = −m i właściwie nie ma po co dalej liczyć; tego minusa między x i y na plus nie da się zamienić dla pewnych m można będzie mieć być może, ale nie na pewno hiperbolę, ale nie elipsę

Mila: Przekształcam:

	√2		√2
4(x+		)2−2(y+		)2=1−m
	2		2

hiperbola dla m≠1 dla m=1 dwie proste.

Basia: a czy to 1−m nie powinno być (dla hiperboli) dodatnie ?

Basia: powinno bo inaczej nie sprowadzimy do postaci kanonicznej

x+√2/2		y+√2/2
	−		= 1
1−m4		1−m2

	1−m
a2 =
	4

	1−m
b2 =
	2

a to jest możliwe ⇔ 1−m>0

Basia: Witaj Milu Jak się liczy ten kąt obrotu ? Kompletnie nie mogę sobie przypomnieć.

Mila: OJ, te liczniki źle zapisałaś. Właśnie czekałam na odzew autora postu. W tej sytuacji Basiu, to wyszłoby przy 1−m <0 ky²−px²=1 Nie mam materiałów o krzywych stożkowych, gdzieś wyrzuciłam.

Mila: Współrzędne po obrocie o kąt α wokół początku układu wsp. x'=xcosα−ysinα y'=xsinα+ycosα Ma zniknąć wyraz z (x*y).

Basia: nie łapię; tylko kwadraty opuściłam Ty napisałaś

	√2		√2
4(x+		)2 − 2(y+		)2 = 1−m
	2		2

dzielę przez 1−m i mam

√2   (x+ )2   2		√2   (y+ )2   2
	−		= 1
1−m   4		1−m   2

to niby dlaczego 1−m ma być ujemne ?

Basia: tyle to wiem; ale od jakiego równania wychodzisz

x2		y2
	+		= 1
a2		b2

czy

(x−p)2		(y−q)2
	+		= 1
a2		b2

bo próbowałam od (1) i idiotyzmy mi wyszły, oczywiście mogłam się gdzieś pomylić

Basia: równanie hiperboli http://pl.wikipedia.org/wiki/Hiperbola_%28matematyka%29

Basia: ad.poprzedni wpis próbowałam też wyjść od równania podanego przez autora, ale wtedy trzeba by chyba przyjąć, że to w tym równaniu są x' i y' i podstawić to co podałaś tak próbowałam i chyba coś poknociłam bo β mi niestety wyszedł 0, co jest bez sensu może tu trzeba odwrotnie x = x'*cosβ +y'*sinβ y = −x'*sinβ+y'*cosβ

Mila: Basiu, wzory dobre, (ujemne m−1 rozważam, co wtedy sie dzieje). Zostaw, to nam się "uleży". Zapomniałyśmy, ale coś znajdziemy i będzie w końcu wyjaśnione. Ja to obróciłam o 45 ⁰, zniknął wyraz 6xy i wystarczy.

Basia: wszystko jasne; mnie chodziło o to jak dojść do tego, że to ma być 45 st.

Mila: Tam wychodzi współczynnik (cos²α−sin²α)xy i trzeba wyzerować ten nawias.

Basia: no to musiałam się gdzieś pomylić przy rachunkach

Mila: Do Basi Jeśli chcemy znaleźć obraz linii po obrocie o kąt α, to do równania wstawiamy za x i y x = x'cosα +y'sinα y = −x'sinα+y'cosα Dla kąta α=45⁰ mamy

	x'+y'
x=
	√2

	y'−x'
y=
	√2

po wstawieniu wychodzi trochę inny wynik niż podałam, ale jest to hiperbola. Po wstawieniu od razu wzorów, które podałam wcześniej mamy obraz w obrocie o kąt (−45⁰) i w naszym zadaniu tak może być.