rownanie x: Wyznacz wszystkie liczb rzeczywiste spelniajace rownanie : (x³+4x²−2x−8)^{−x2−3x−4}=0

Ajtek: Żeby liczba po podniesieniu do potęgi była =0, to sama musi być =0. Potęga zaś nie może być =0. Chyba tak to było.

pigor: ... x∊∅ z definicji funkcji wykładniczej . ...

Eta: a^x≠0

Ajtek: Aaaa Faktycznie pigor .

123: Aby: (x³ + 4x² − 2x − 8)^{−x2 − 3x − 4} = 0, to podstawa musi być równa zero a wykładnik dowolny (bo nie istnieje taka liczba k, gdzie a^k = 0), więc: x³ + 4x² − 2x − 8 = 0 x²(x + 4) − 2(x + 4) = 0 (x² − 2)(x + 4) = 0 (x − √2)(x + √2)(x + 4) = 0 x₁ = √2 V x₂ = −√2 V x₃ = −4 ⇒ x ∊ {−4, −√2, √2}

Beti: x∊{−4,−√2,√2}

Ajtek: No to teraz zgłupiałem .

x: Jeszcze odnoscnie zadania w wykladniku jest −x²−3x+4 (przepraszam za blad) czy nie trzeba wtedy zrobic jakies dziedzny bo w rozwiazaniach nie ma x=−4

Ajtek: Wróć do mojego poierwszego postu i zobaczysz.

pigor: ... a więc funkcja y=a^x=0 ⇔ a=0 i x≠0 , czyli tu x³+4x²−2x−8=0 i −x²−3x−4≠0 ⇔ x²(x+4)−2(x+4)=0 i x²+3x+4≠0 ⇔ ⇔ (x+4)((x−√2)(x+√2)=0 i x∊R ⇔ x∊{−4,√2,−√2} . ...

picia: −4 odpada bo w liczniku wyjdzie 0.

x: ok juz zalapalem dzieki wielkie

Ajtek: Czyli kurcze miałem rację . Zrobiliście mi przez chwilę wodę z mózgu .

x: Dawno nie ruszalem potegowej i wykladniczej i widac braki

123: A ja zapomniałem rozpatrzyć wykładnika Cóż... zmęczenie...

Mila: Ajtek dobrze, ale powinieneś napisać "wykładnik różny od zera".

Ajtek: Hej Mila, to skrót myśłowy był, podobnie jak cała moja wiedza matematyczna .

picia: ja jeszcze lepiej napisalem. czyli zeby by jasne, rozwiazaniem jest √2, −√2? bo x zmienil poprawil postac wykladnika na −x²−3x+4

Mila: Ja to zrozumiałam. Ale to uwaga na przyszłość.

Ajtek: Dzięki Mila, postaram się zapamiętać .

x: jeszce mam pytanie odnosnie jednego zadnia Wyznacz wszystkie liczby spelniajace rownanie: (5−x)^x3−4x2+x+6=1 zrobilem zalozenie ze x≠−1,−2,−3 i teraz co musze zrobic ?

Ajtek: Aby liczba po podniesieniu do potęgi była =1, to sama musi być równa 1, lub wykładnik potęgi musi być =0. Oczywiście liczba podnoszona do potęgi nie może być =0

x: no ok ale w dalszym ciagu nie wiem jak to zrobic jak wezme 1⁰ i potem mam przyrnowan z 5−x=0? czy jakos inaczej ?

Ajtek: Chwila, tylko zjem

x: ok dzieki wielkie

pigor: ... tu masz taką alternatywę koniunkcji : (5−x≠0 i x³−4x²+x+6=0) lub (5−x=1 i x³−4x²+x+6≠0) ⇔ ... i dalej sam . ...

Beti: I przypadek: 1 do każdej potęgi daje 1. żeby tak było, to 5−x musi być = 0: 5−x=0 => x = 5 II przypadek:każda liczba (oprócz 0) podniesiona do potęgi 0 daje 1, więc: 5−x ≠0 i x³−4x²+x+6 = 0 − trzeba rowiązać

Ajtek: Jedziemy po kolei. Jedynka podniesiona do każdej potęgi da nam 1, prawda . 5−x=1 ⇒ x=4 Wiemy również, że każda liczba podniesiona do potęgi zerowej, wyłączając zero, da nam 1, czyli: 5−x≠0 ⇒x≠5 Wracamy do potęgi: x³−4x²+x+6=0 i teraz sprawdzasz dla jakich x−ów ten wielomian jest =0. Rozwiązaniem jest suma tych warunków, pamiętając o tym że x≠5.

x: ok wszystko sie zgadza tylko wyszlo mi ze x={−1,2,3,4} a jeszcze wyszla 6 a z tego wielomianu mamy 3 pierwisatki i z warunku 5−x=1 ⇒x=4 to gdzie ta 6 sie podziala?

Beti: ups oczywiście w I przypadku x = 4

pigor: ... czyli (5−x≠0 i x³−4x²+x+6=0) lub (5−x=1 i x³−4x²+x+6≠0) ⇔ ⇔ (x≠5 i x³+x²−5x²+5+x+1=0) lub [x=4 i x²(x+1)−5(x²−1)+1(x+1)≠0] ⇔ ⇔ (x≠5 i (x+1)(x²−5x+5+1)=0) lub [x=4 i (x+1)(x²−5x+6)≠0] ⇔ ⇔ (x≠5 i (x+1)(x−2)(x−3)=0) lub (x=4 i (x+1)(x−2)(x−3)≠0] ⇔ ⇔ [x≠5 i (x=−1 lub x=2 lub x=3)] lub (x=4 i x≠−1 i x≠2 i x≠3) ⇔ ⇔ x∊{−1,2,3,4} − szukane rozwiązania danego równania.

Ajtek: Tobie wyszła 6, czy w odpowiedziach masz 6

Mat: Tak odp: x∊{−1,2,3,4,6} w ksiażce mam adnotacje ze jest to zadanie maturalne z maja 2004 ale nie moge odszukac tego arkusza w internecie

Ajtek: Jeżeli jest 6 to przychodzi mi tylko na myśl takie coś: 5−x=−1 ⇒ x=6 ale trzeba dać od razu warunek że: x³−4x²+x+6=2k dla k∊N, bowiem (−1) podniesione do parzystej potęgi daje zawsze 1. Nic innego mi do głowy nie przychodzi.

Mat: dobra jakos przezyje dzieki wielkie za pomoc

Ajtek: Nie ma sprawy. Jak mnie coś oświeci więcej to napiszę .

Ajtek: Dla x=6 mamy: Podstawa =−1, natomiast wykładnik =84 ⇒ (−1)⁸⁴=1. Chyba o to chodziło .

Mat: nom jakies chytre jest to zadanie bo trzeba analizowac konkretne liczby a nie tylko rozwiazac, no coz ale to bylo 2004 teraz sie troche zmienilo

Ajtek: Zmieniło się na gorsze wg mnie. Mniej materiału=mniejsza wiedza=mniej myślenia.

Mat: tez sie z tym zgadzam porownac material nawet z sprzed 3−4 lat z tym to naprawde strasznie jest okrojony.Nawet na podstawie juz nie ma funkcji ctg (rzeczywscie tudno zamienic licznik z mianownikiem gdy ma sie tg) Strach sie bac co bedzie za 10 lat

Ajtek: ZS tego co słyszałem nowa podstawa ma wejść, ale tylko w klasach o profilu mat/i cośtam, jeżeli dobrze zrozumiałem. Wrócą pochodne, granice i podobne przyjemności.

Mat: To nawet dobre wiesci bo z tego co wiem to material ktory teraz realizuje sie w LO jest zupelnie nie przydatny na studia,nagle jest taki skok z rownan kwadratowych na pochodne granice macierze,liczby zespolone

Ajtek: Skok skokiem. Jeżeli idziesz na studia, gdzie matematyka jest jednym z przedmiotów, to musisz zdawać rozszerzenie. Z podstawą mało kto, o ile w ogóle, sobie poradzi na studiach.

Mat: NIe no to oczywista sprawa.Z tego co mi sie wydaje na wszystkich dobrych uczelniach potrzebna jest matma roz. inaczej nie masz sie najmiejszych szans aby sie dostac na dany kierunek

Ajtek: Moja uczennica, tego roczna maturzystka znalazłą na UW bodaj kierunek zwiazany z ekonomia, na ktory przyjmują z podstawa.

Ajtek: Inną sprawą jest fakt, ile miejsc zostanie dla tych, którzy mają tylko podstawę.

Mat: Tak na Uw , z tego co mi sie wydaje jest przelicznik z roszczerzenia 100%=100 pkt a z podstawy 100%=80 pkt (ale nie chce sklamac).Natomiast na Sgh czy politechnike to bez rozszerzenia sie nic nie wskura

Ajtek: Właśnie przeglądałem kierunki i też to zauważyłem, natomiast nie pamiętam kierunku, o którym mówiła.

Mila: AD zadanie 1.Ajtek, Picia wydaje mi się, że skoro podstawa równa zero to wykładnik może przyjmować tylko wartości dodatnie i trzeba badać, czy spełniony jest ten warunek a nie tylko miejsce zerowe wykluczyć.( ?)

Ajtek: Tak Mila, masz rację . Jak zauważyłaś zapewne, w pierwszym wpisie nie miałem do końca pewności . A tak w ogóle to dzień dobry.

Mila: Witam, nie wtrącałam się wczoraj, bo było Was dużo.Zadanie ciekawe.

Ajtek: Zadanko ciekawe i, o dziwo, coś pamiętałem z założeń .