Wykaż ze... Mat: Wykaż ze dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c takich ze a+b+c=1 zachodzi nierownosc (1−a)(1−b)(1−c)>=8abc Bardzo prosze o rozwiazanie. Za jedynki podstawilem a+b+c i nastepnie wymnozylem ale nie moge tego pozniej zwinac....

Mila: (√a−√b)²≥0⇔a+b≥2√ab (√a−√c)²≥0⇔a+c≥2√ac (√b−√c)²≥0⇔b+c≥2√bc⇔ (a+b)*(a+c)*(b+c)≥8√a²b²c²=8abc ale z założenia b+c=1−a a+c=1−b a+b=1−c zatem (1−a)*(1−b)*(1−c)≥8abc

sbtrkt: Mila coś zrobił/a od końca i jakiś wzór użyty (cauchyego?), kompletnie nie rozumiem i proszę o jakiś krok po kroku...

Janek191: Mila skorzystała z oczywistych nierówności : ( x − y)² ≥ 0 ( x − z)² ≥ 0 ( y − z )² ≥ 0 gdzie x = √a , y = √b , z = √c oraz z założenia : a + b + c = 1 ⇒ [ a + b = 1 − c , a + c = 1 − b, b + c = 1 − a ]

PW: Dowód kompletny − założenie a,b,c >0 daje możliwość liczenia pierwiastków i mnożenia nierówności stronami. Wszystko jest pokazane, trzeba chcieć zrozumieć.

sbtrkt: no to jeszcze łapię... ale jak dojść do tej postaci, że używam pierwiastków nagle, patrząc na zadanie pierwszy raz, wątpię, że ktoś pospolity w matmie od razu zauważy te wzory i zacznie od ich strony, idąc właśnie od zapisania zamiast 1, a+b+c po redukcji co należy zrobić?

sbtrkt: wskazówki mówią coś o obustronnym odjęciu 8abc

PW: Dowody nie są dla "pospolitych w matmie", to trudna sztuka, której uczymy się wytrwałym naśladowaniem mistrzów. Nie chcę się wymądrzać, ale tak jest. Po przetrawieniu kilkunastu (kilkudziesięciu) takich dowodów już się niektóre rzeczy widzi. A i tak gwarancji nie ma, ze wpadniesz na najlepszy pomysł.

Eta: