Mariusz:
LinXi
Najpierw proponowałbym zauważyć że niezerowe współczynniki mamy jedynie
przy parzystych potęgach więc łatwo podstawieniem obniżyć stopień równania
Niech x
2 = 1000t
10
12t
4−3*10
3+9t
3+112*10
6+6t
2−156*10
9+3t+161*10
12=0
t
4 − 3t
3 + 112t
2 −156t + 161 =0
Niech będzie dane równanie
a
4x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
Podzielmy równanie przez współczynnik wiodący
| | a3 | | a2 | | a1 | | a0 | |
x4+ |
| x3+ |
| x2+ |
| x+ |
| =0 |
| | a4 | | a4 | | a4 | | a4 | |
Chcemy doprowadzić wielomian najpierw do różnicy kwadratów a później do
iloczynu trójmianów kwadratowych
Pogrupujmy wyrazy wielomianu czwartego stopnia
| | a3 | | a2 | | a1 | | a0 | |
(x4+ |
| x3) − (− |
| x2− |
| x− |
| ) = 0 |
| | a4 | | a4 | | a4 | | a4 | |
Chcemy wyrażenie w nawiasie znajdującym się najbardziej na lewo
sprowadzić do kwadratu zupełnego
Dodajmy do obydwu nawiasów pewien wyraz
To jaki to jest wyraz wynika ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
| | a3 | | a32 | |
(x4+2 |
| x3+ |
| x2) − |
| | 2a4 | | 4a42 | |
| | a32 | | a2 | | a1 | | a0 | |
( |
| x2− |
| x2− |
| x− |
| ) = 0 |
| | 4a42 | | a4 | | a4 | | a4 | |
| | a32−4a4a2 | | a1 | | a0 | |
( |
| x2− |
| x − |
| ) = 0 |
| | 4a42 | | a4 | | a4 | |
Zauważmy że wyrażenie w drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym
i będzie ono trójmianem kwadratowym gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Jednak gdybyśmy obliczyli wyróżnik teraz mogłoby się okazać że nie jest on równy zero
Musimy wprowadzić nową niewiadomą aby uzależnić od niej wyróżnik trójmianu kwadratowego
Niewiadomą wprowadzamy tak aby wyrażenie w nawiasie najbardziej na lewo
nadal było kwadratem zupełnym
Znowu korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
| | a3 | | a1 | | y2 | | a0 | |
( |
| y− |
| )x + |
| − |
| ) = 0 |
| | 2a4 | | a4 | | 4 | | a4 | |
Teraz policzmy wyróżnik trójmianu kwadratowego
| | 4a0 | | a32 | | a2 | |
(y2− |
| )(y+ |
| − |
| ) − |
| | a4 | | 4a42 | | a4 | |
| | a32 | | a2 | | 4a0 | |
y3 + |
| y2 − |
| y2 − |
| y |
| | 4a42 | | a4 | | a4 | |
| | a32 | | a3a1 | | a12 | |
( |
| y2− |
| y + |
| ) = 0 |
| | 4a4 | | a42 | | a42 | |
| | a32 | | a2 | | 4a0 | |
y3 + |
| y2 − |
| y2 − |
| y |
| | 4a42 | | a4 | | a4 | |
| | a0(a32−4a4a2) | | a32 | | a3a1 | |
− |
| − |
| y2 + |
| y |
| | a43 | | 4a4 | | a42 | |
| | a2 | | a3a1 − 4a4a0 | |
y3 − |
| y2+ |
| y − |
| | a4 | | a42 | |
| a32a0−4a4a2a0+a4a12 | |
| = 0 |
| a43 | |
Po rozwiązaniu równania trzeciego stopnia dostaniemy różnicę kwadratów
t
4 − 3t
3 + 112t
2 −156t + 161 = 0
(t
4 − 3t
3) − (−112t
2 +156t − 161) = 0
| | 3 | | 9 | | 9 | |
(t4 − 2 |
| t3 + |
| t2) − ( |
| t2−112t2 +156t − 161) =0 |
| | 2 | | 4 | | 4 | |
| | 3 | | 439 | |
(t2 − |
| t)2 − (− |
| t2 +156t − 161) =0 |
| | 2 | | 4 | |
| | 3 | | y | | 439 | | 3 | | y2 | |
(t2 − |
| t + |
| )2 − ((y− |
| )t2+(− |
| y + 156)t + |
| −161) = 0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
Δ = 0
| | 439 | | 3 | |
(y2 − 644)(y− |
| ) − (− |
| y + 156)2 |
| | 4 | | 2 | |
| | 439 | | 9 | |
y3 − |
| y2−644y + 70679 − ( |
| y2 − 468y + 24336) =0 |
| | 4 | | 4 | |
y
3 − 112y
2 −176y + 46343 = 0
Na upartego można sobie poradzić bez programu ale obliczenia będą żmudne