Proste o równaniach wyznaczają trójkąt ABC. adasb17: Witam. Mam problem z geometrią analityczną. Proste o równaniach 2x−y−4=0, x+2y−12= 0 i x−2=0 wyznaczają trójkąt ABC. a Wyznacz współrzędne wierzchołków ABC. b Oblicz obwód trójkąta ABC. c Napisz równania prostych, w których są zawarte wysokości trójkąta ABC. Prosiłbym bardzo o rozwiązanie i omówienie dlaczego tak a nie inaczej.

adasb17: Witam. Proszę o szybką pomoc. Geometria analityczna. Proste o równaniach 2x−y−4=0, x+2y−12= 0 i x−2=0 wyznaczają trójkąt ABC. a Wyznacz współrzędne wierzchołków ABC. b Oblicz obwód trójkąta ABC. c Napisz równania prostych, w których są zawarte wysokości trójkąta ABC. Prosiłbym bardzo o rozwiązanie i omówienie dlaczego tak a nie inaczej.

Gustlik: 2x−y−4=0, x+2y−12= 0 i x−2=0 ad a) Liczę współrzędne punktu A: { 2x−y−4=0 { x+2y−12= 0 { 2x−y=4 /*2 { x+2y=12 { 4x−2y=8 { x+2y=12 + −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 5x =20 /:5 x =4 4+2y=12 2y=12−4 2y=8 /:2 y=4 A=(4, 4) Współrzędne B: { 2x−y−4=0 { x−2=0 ⇒ x=2 2*2−y−4=0 4−y−4=0 −y=0 y=0 B=(2, 0) Współrzędne C: { x+2y−12=0 { x−2=0 ⇒ x=2 2+2y−12=0 2y=10 /:2 y=5 C=(2, 5) A=(4, 4) B=(2, 0) C=(2, 5) ad b) z wektorów: AB^→=[2−4, 0−4]=[−2, −4] AC^→=[2−4, 5−4]=[−2, 1] BC^→=[2−2, 5−0]=[0, 5] |AB|=√(−2)²+(−4)²=√4+16=√20=2√5 |AC|=√(−2)²+1²=√4+1=√5 |BC|=√0²+5²=5 obw=3√5+5 ad c) A=(4, 4) B=(2, 0) C=(2, 5) prosta h_c ⊥ AB

	wy
a=		, gdzie [wx, wy] to współrzędne wektora leżącego na danej prostej lub
	wx

równoległego do niej Takim wektorem jest AB^→=[−2, −4]

	−4
aAB=		=2
	−2

	1
ahc=−
	2

	1
y=−		x+b
	2

Podstawiam wsp. C=(2, 5):

	1
5=−		*2+b
	2

5=−1+b b=6

	1
pr. hc: y=−		x+6
	2

prosta h_b ⊥ AC AC^→=[−2, 1]

	1		1
aAC=		=−		(⊥ AB ⇒ Δ prostokątny)
	−2		2

a_hb=2 y=2x+b Podstawiam wsp. B=(2, 0) 0=2*2+b b=−4 pr. h_b: y=2x−4 prosta h_a ⊥ BC BC^→=[2−2, 5−0]=[0, 5]

	5
aBC=		nie istnieje
	0

pr. BC jest pionowa i ma równanie x=2 (wsp. x punktów B i C =2) pr. h_a ma równanie y=b (pr. pozioma, funkcja stała) i musi przechodzić przez punkt A pr. h_a: y=4 (wsp. y punktu A =4)