Optymalizacja, proszę chociaż o jakieś wskazówki a najlepiej odpowiedzi daro: a) Drut długości 120 cm zostaje rozcięty na 3 kawałki o długościach: x, y, 120−(x+y). Z każdego z trzech kawałków formujemy kwadratową ramkę. Niech f(x, y) oznacza sumę pól tych kwadratów. Wykazać, że jedyny punkt krytyczny funkcji f jest jej lokalnym minimum. Czy da się mimo to zmaksymalizować sumę tych pól? Wyjaśnić dlaczego. b) Drut długości 120 cm zostaje rozcięty na co najwyżej 3 kawałki o długościach: x, y, 120−(x+y) i z każdego z kawałków formujemy kwadratową ramkę. Jak należy dokonać tego podziału, aby zminimalizować sumę pól tak uzyskanych kwadratów, a jak by ją zmaksymalizować?

@Basia: Pomagam

@Basia: Pomagam

@Basia: ad.a f(x,y) = (^x₄)² + (^y₄)² + (^120−(x+y)₄)² f(x+y) = ^x2₁₆ + ^y2₁₆ + ^{14400 − 240(x+y) + (x+y)2}₁₆ f(x,y) = ^{x2 + y2 + 14400 − 240x + 240y + x2 + 2xy + y2}₁₆ f(x,y) = ^{2x2 + 2y2 − 240x − 240y + 2xy + 14400}₁₆ f(x,y) = ^{x2 + y2 − 120x − 120y + xy + 7200}₈ założenia: x,y >0 120−(x+y)>0 x+y<120 czyli: x,y>0 i x,y<120 f'_x = ^2x−120+y₈ f'_y = ^2y−120+x₈ punkt krytyczny: f'_x = 0 f'_y = 0 2x − 120 +y = 0 2y − 120 +x = 0 2x + y = 120 /*(−2) x + 2y = 120 −4x − 2y = −240 x +2y = 120 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −3x = −120 x = 4 2*4 + y = 120 y = 112 Jedynym punktem krytycznym jest A(4,112) f"_xx = ²₈ = ¹₄ f"_xy = ¹₈ f"_yx = ¹₈ f"_yy = ²₈ = ¹₄ f"_xy = f"_yx wyznacznik Hessego δ(x,y) = f"_xx*f"{yy} − (f_xy)² = ¹₄*¹₄ − (¹₈)² = ¹₁₆−¹₆₄ ⁴⁻¹₆₄ = ³₆₄ δ(4,112)=³₆₄>0 czyli f(x,y) ma w punkcie A(4,112) minimum lokalne moim zdaniem nie da się sumy tych pól zmaksymalizować, ale mogę się mylić ad.b wszystko tak samo tylko x,y≥0 i x,y≤120 i wtedy można sumę tych pól zmaksymalizować będzie to jedna z wartości na brzegu obszaru określoności czyli trzeba zbadać: f(0,0) f(0,120) f(120,0) f(0,0)=⁷²⁰⁰₈ = 900 f(0,120) = ^{1202 − 120*120 + 7200}₈ = ⁷²⁰⁰₈ = 900 f(120,0)=f(0,120) = 900 i to są wartości maksymalne

daro: dzięki