Trygonometria Danieloo: Skoro tg(arctgx)=x to czy np.: tg(¹₂arctgx)=¹₂x? A jeśli nie to jak to w takim razie będzie wyglądać?

Trivial: Nie.

	1		1
tg(arctg(		x)) byłoby równe		x.
	2		2

	1		1
Aby obliczyć tg(		arctg(x)) musisz wyprowadzić wzór tg(		x) = f(tg(x)).
	2		2

	x   2tg( )   2		x
tgx =		; u = tg(		)
	x   1−tg2( )   2		2

	2u
tgx =
	1−u2

tgx(1−u²) = 2u −tgx*u² − 2u + tgx = 0 Δ = 4 + 4tg²x; √Δ = 2√1+tg²x

	2 ± 2√1+tg2x
u =
	−2tgx

	x		1 ± √1+tg2x
tg(		) = −
	2		tgx

± oznacza, że w odpowiednich przedziałach x będzie trzeba wybrać odpowiedni znak.

	x
Dla x = 0 w oczywisty sposób tg(		) = 0.
	2

	π		π
Dla tgx≠0 oraz x∊(−		,		) wybieramy minus
	2		2

	π		π
Dla tgx≠0 oraz x∊(−π, −		) u (		, π) wybieramy plus.
	2		2

	π
Dla x∊{±π, ±		} funkcja jest nieokreślona.
	2

Pozostałymi iksami się nie przejmujemy.

	π		π
Zauważmy, że arctgx, a tym bardziej jego połowa zawierają się w przedziale (−		,		).
	2		2

Wybieramy zatem znak minus.

	1		1 − √1+tg2(arctgx)		1 − √1+x2
tg(		arctgx) = −		= −		.
	2		tg(arctgx)		x

	1
Dla x = 0, tg(		arctgx) = 0.
	2

Danieloo: Wielkie dzięki. Bo nie mogłem tego nigdzie znaleźć i nie spodziewałem się, że aż tyle wyprowadzenia będzie na to, ale na pewno warto to wiedzieć. Rozumiem, że dla sinx−arcsinx, cosx−arccosx itd... adekwatnie trzeba postępować?