Wykazać, że dla każdego x∊(0, ∞) spełniona jest nierówność: darek: Wykazać, że dla każdego x∊(0, ∞) spełniona jest nierówność: 4 lnx+1/x⁴ ≥1

pigor: ... np. tak : w zbiorze x=R₊ dana nierówność jest kolejno równoważna : 4lnx+¹_x⁴≥1 / *x⁴ ⇔ 4x⁴lnx+1≥x⁴ ⇔ (*)x⁴(4lnx−1)+1≥0 , no to niech f(x)=x⁴(4lnx−1)+1 ⇒ pochodna f '(x)=4x³(lnx−1)+x⁴ *⁴_x ⇔ f '(x)= 4x³(lnx−1)+4x³ = 4x³(4lnx−1+1) ⇔ f '(x)=16x³lnx i x>0 , gdzie f '(x)≥0 ⇔ lnx≥0 x≥1 , więc w przedziale <1;+∞) f jest rosnąca w szerokim sensie i jej najmniejsza wartość to f(1}=1>0 , a ponadto f jest ciągła w x=1 to f '(x)≤ 0 ⇔ lnx ≤0 ⇔ 0<x≤1 , czyli w przedziale (0;1> f jest malejąca w szerokim sensie i przyjmuje najmniejszą wartość równą także f(1)=1>0 , a to wszystko razem wzięte pozwala stwierdzić, że f(x)≥0 , czyli prawdziwość nierówności (*) równoważnej danej dla x∊R₊=(0;+∞) , co należało wykazać. ...