Podzielność przez 5 V.Abel: Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej n, liczba n⁵−n jest podzielna przez 5. Ktoś mi powiedział, że powinienem oznaczyć np. n=5k, n=5k+1,etc. Ale dlaczego tak?

ICSP: Wynika bezpośrednio z małego twierdzenia Fermata

V.Abel: A coś więcej? Nie znam jeszcze Twierdzenia Fermata

ICSP: n⁵ − n = n(n⁴−1) = (n−1)(n+1)n(n²+1) = (n−1)(n+1)n(n²−4 + 5) = (n−1)(n+1)(n−2)(n+2)n + 5(n−1)n(n+1) co oczywiście dzieli się przez 5. Koniec pokazywania

V.Abel: OK, ale co ma do tego n=5k, n=5k+1,... ?

ICSP: dobre pytanie

Godzio: Jak pokażesz dla n = 5k, n = 5k + 1, n = 5k + 2 itd. to pokażesz, że n⁵ − n dzieli się przez 5, bo każda liczba ma jedną z tych postaci, ogólnie to chodzi o reszty z dzielenia dla 5k mamy (5k)⁵ − 5k, reszta z dzielenia przez 5 jest 0 dla 5k + 1 mamy: (5k + 1)⁵ − (5k + 1) = 5(...) + 1 − 5k − 1 =5(...) − 5k tu jak widać reszta też jest 0 itd. jednak ten sposób jest bez sensu, lepiej tak jak ICSP

V.Abel: ok, dzięki