ciągłość klaudia: Hej, nie mogę poradzić sobie z takim zadaniem: zbadaj czy f(x,y) jest ciągła

	⎧	xyx2+y2 dla x≠0
f(x,y)=	⎩	0 dla x=0

będę wdzięczna za pomoc bo w poniedziałek mam egzamin a nie wiem jak to rozwiązać

Basia:

	xy		0
limx→0		=		= 0 = f(0,y) dla każdego y≠0
	x2+y2		y2

czyli w punktach f(0,y) gdzie y≠0 jest ciagła pytanie co z punktem (0,0) najłatwiej będzie przez współrzędne biegunowe x=r*cosφ y=r*sinφ (x,y) → (0,0) ⇔ r→0 φ jest dowolne(0, f(x,y) = f(r,φ) = U{(r*cosφ)*(r*sinφ){r^cos²φ+r²sin²φ} =

r2*sinφ*cosφ
	= sinφcosφ
r2

lim_r→0 f(r,φ) = lim_r→0 sinφcosφ = sinφcosφφ jest więc zależna od φ i będzie różna dla różnych φ z tego wynika, że ta granica w ogóle nie istnieje czyli w punkcie (0,0) funkcja nie jest ciągła

Basia: można też inaczej po ścieżce (¹_n;¹_n)→ (0;0) masz

1   n2		1		1
	=		→
2   n2		2		2

a po ścieżce (²_n; ¹_n) → (0,0) masz

2   n2		2		2
	=		→
5   n2		5		5