Algebra Godzio: Kolejne zadanka, na które nie mogę znaleźć sposobu, a pewnie jest banalne 1. L ∊ L(V), V − p. skończenie wymiarowa, Pokazać, że jeśli λ² jest wartością własną L² to jedna z liczb λ, − λ jest wartością własną operatora L. 2. Niech T będzie operatorem liniowym na (rzeczywistej) przestrzeni wektorowej V i niech v,w będą wektorami własnymi T, takimi że v + w ≠ 0. Pokazać, że v + w jest wektorem własny T ⇔ v i w odpowiadają tej samej wartości własnej.

Godzio: Podbijam

Godzio: Czy do zadania 2, takie rozwiązanie jest ok ? : ⇒ 2. Załóżmy, że v + w jest wektorem własny, wówczas: T(v) + T(w) = T(v + w) = a(v + w) = av + aw Ponieważ, v i w są własne to: T(v) = bv T(w) = cw T(v + w) = bv + cw = av + aw ⇒ a = b, a = c ⇒ a = b = c ⇒ v i w odpowiadają tej samej wartości własnej (druga strona jest oczywista więc nie piszę )

Basia: wg mnie jest dobrze tylko ten zapis trochę mało porządny ponieważ T jest operatorem liniowym ⇒ T(v+w) = T(v)+T(w) T(u+v) = α(v+w) = αv + αw T(v) = βv T(w) = γw stąd αv + αw = βv + γw (α−β)v = (y−α)w stąd wynika, że v i w są liniowo zależne ⇒ odpowiadają tej samej wartości własnej lub (α−β)=0 i (y−α)=0 ⇔ α=β i α=γ ⇒ β=γ ⇒ odpowiadają tej samej wartości własnej

Godzio: Ok, dzięki A pierwsze da radę ?

Basia: mało już z tego pamiętam; pewnie też jest proste, ale jakoś nie mam pomysłu jak mi coś zaświta na pewno napiszę

Basia: każdą macierz kwadratową L mogę doprowadzić do postaci schodkowej a₁₁ 0.........................0 a₂₁ a₂₂ 0.............0 ........................................... a_n1 a_n2 a_nn wówczas L² ma postać (tego nie jestem do końca pewna, jeżeli to jest prawda, to jest dobrze) a₁₁² 0............................0 coś a₂₂² 0...................0 ............................................... coś a_nn² w tej postaci mam det(L²−α²) = (a₁₁²−α²)*.....*(a_nn²−α²) =0 no to musi być jakieś a_ij − α=0 lub jakieś a_km+α=0 ⇒ det(L−α) = (a₁₁−α)*...................*(a_nn−α) =0 lub det(L−α) = (a₁₁+α)*...................*(a_nn+α) =0

Basia: oczywiście ma być det(L² − α²E) i det(L−αE)

Godzio: A tak teraz myślę, czy tak można zrobić: det(A² − λ² * I ) = 0 ⇒ det[ (A − λ * I)(A + λ I) ] = det(A − λ * I) * det(A + λ I) = 0 i z tego mielibyśmy już tezę, tylko tak jakoś za prosto

ZKS: A² − λ² * l ≠ (A − λ * I)(A + λ * I) Chyba.

Godzio: No właśnie tutaj chyba by tak było, gdyby była to inna macierz (od jednostkowej) to by nie działało. Ale tego też na 100% nie jestem pewien

ZKS: Skoro tak to ja już się nie będę udzielał bo te zadania wykraczają poza moje umiejętności i wiedzę.

Basia: Nawet na pewno A²−α^E ≠ (A−αE)(A+αE) dla dowolnego α. Łatwo o kontrprzykład. Nawet na macierzach 2x2. Co do mojego to zdaje się, że to prawda. Chyba wiem jak to udowodnić, ale to ewentualnie dopiero jutro

Basia: A² − α²E oczywiście

Krzysiek: jak dla mnie to zachodzi(przecież jak się rozpisze na macierzach 2 na 2 to wychodzi..) przecież: (A−αI)(A+αI)=A² +αAI −αIA −α² I² =A² +αAI −αAI −α² I =A² −α² I

Godzio: Czyli w takim razie to co napisałem byłoby dobrze ?

b.: to z 2 cze 19:47 jest dobrze −− macierz jednostkowa I komutuje z każdą macierzą: AI=IA, więc nie ma tu problemu ze wzorami skróconego mnożenia...