Martes: Oblicz pierwiastki: z³−8=0

Basia: tak jak zwykłe a³ − b³ z³ − 2³ = 0 (z−2)(z²+2z+4) z = 2 lub z² + 2z + 4 = 0 Δ = 4 − 4*1*4 = −12 = 12i² √Δ = i√12 = 2i√3

	−2−2i√3
z =		= −1 − i√3
	2

lub

	−2+2i√3
z =		= −1 + i√3
	2

Artur_z_miasta_Neptuna: z³ − 8 = 0 z³ − 2³ =0 (z−2)(z² − 2z + 4) = 0 (z−2)(z−(1−i√3))(z−(1+i√3)) = 0

danoel: jeśli chodzi o ³√−8 ³√−8= −2

danoel: sorry pomyłka

Basia: daneol tu chodzi o liczby zespolone

Martes: No okej, poszliście obydwoje metodą ze wzorów skróconego mnożenia. A co by się stało gdyby −8 przenieść na drugą stronę? z³=8 z=³√8 z=2 wyliczyłem co prawda tylko jeden pierwiastek. Wg zasad matematycznych nie widzę tutaj błędu.

danoel: Ale jest chyba błąd delta wychodzi ujemna −12 wiec się zgadza jest tylko jedno miejsce zerowe 2

danoel: I mam pytanie dlaczego liczby zespolone?

Martes: Są 3 miejsca zerowe. Basia je dobrze obliczyła, tylko nie wiem jak dojść do tego moją metodą. Chyba, że jest z założenia błędna.

Martes: Bo to przykład z zastosowania liczb zespolonych w wielomianach

Basia: 1. masz do czynienia z liczbami zespolonymi, a w liczbach zespolonych są trzy liczby równe ³√8 to właśnie tamte czyli: 2 = 2+0*i −1−i√3 i −1+i√3 dowiesz się tego gdy poznasz metodę wyznaczania pierwiastków dowolnego stopnia przy pomocy wzorów Moivre'a 2. w liczbach zespolonych dowolne równanie n−tego stopnia ma dokładnie n pierwiastków

Basia: nie jest błędna, ale można ją poprawnie zastosować dopiero wtedy gdy się pozna postać trygonometryczną liczby zespolonej i wspomniane już wzory Moivre'a ? znasz ? jak znasz to Ci pokażę jak to policzyć jeżeli jeszcze nie było, to prawdę mówiąc na razie szkoda czasu

Martes: Znam, ale z tego co kojarzę to muszę znać pierwszy pierwiastek żeby wzór Moivre'a zastosować. Ale teraz patrzę, że przecież znam ten jeden pierwiastek : (−2). Więc mogę go zastosować. Wybaczcie głupie pytanie. Zmęczenie materiału już dziś mam. Za dużo tych kolokwiów na głowie. Dzięki za pomoc

Martes: Zastanawia mnie fakt, dlaczego w szkole średniej nie ma liczb zespolonych, tylko przy ujemnych pierwiastkach pisało się − brak rozwiązania. Przecież do ich znajomości nie potrzeba w zasadzie ani całek, ani pochodnych, ani granic...

Basia: 8 = 8+0*i |8| = √8²+0² = 8

	8
cosφ =		= 1
	8

	0
sinφ =		= 0
	8

φ = 0 8 = 8(cos0 + i*sin0) z³ = 8(cos0 + i*sin0)

	0+2kπ		0+2kπ
z = 3√8*(cos		+ i*sin
	3		3

	2kπ		2kπ
z = 2*(cos		+ i*sin
	3		3

k = 0 z = 2(cos0+i*sin0) = 2(1+i*0) = 2 k = 1

	2π		2π		1
z = 2(cos		+ i*sin		) = 2(−		+ i*U{√3{2}) = −1 +i*√3
	3		3		2

k = 2

	4π		4π		1
z = 2(cos		+ i*sin		) = 2(−		+ i*(−U{√3{2})) = −1 −i*√3
	3		3		2

tak to wygląda

Martes: Zgadzam się z Tobą Basiu. Tak powinno być to wyliczone. Teraz mam jasność i przypomniało mi się jak brać się za takie przykłady. Dziękuję bardzo

Martes: A jak taki przykład zacząć ? z³+8i=0 Tylko początek sam.

Martes: Chyba zacząłbym od podstawienia : z=x+iy i działał dalej.

Krzysiek: z=³√−8i i zamieniasz na postać trygonometryczną

Martes: ok

Basia: z³ = −8i = 0 + (−8)i |z³| = √0²+(−8)² = 8

	0
cosφ =		= 0
	8

	−8
sinφ =		= −1
	8

	3π
φ =
	2

z³ = 8(cos^3π₂ + i*sin^3π₂) dalej jak we wpisie z 22:52

Martes: Co ja tu źle robię? z⁴−81=0 z=3 w_o=3

	2π		2π
w1=3(cos		+isin		)=3(0+i)=3i
	4		4

	2π		2π
w2=3i(cos		+isin		)=3i(0+i)=3i2
	4		4

	2π		2π
w3=3i2(cos		+isin		)=3i2(0+i)=3i3
	4		4

Nie rozumiem. Ciągle mam błąd.

ICSP: z⁴ − 81 = 0 (z² − 9)(z²+9) = 0 (z−3)(z+3)(z−3i)(z+3i) = 0 z = 3 v z = −3 v z = 3i v z = −3i Twoje całe do skreślenia.

ZKS: Skąd wziąłeś w W₂ 3i a w W₃ 3i²?

Basia: jeżeli już z postaci trygonometrycznej (tylko po co ?) to: z⁴ = 81 + 0*i |z⁴| = 81

	81
cosφ =		= 1
	81

	0
sinφ =		= 0
	81

czyli φ = 0 z⁴ = 81(cos0 + i*sin0)

	0+2kπ		0+2kπ
z = 4√z4 = 4√81(cos		+ i*sin		) =
	4		4

	kπ		kπ
3(cos		+ i*sin		)
	2		2

k = 0 z = 3(cos0 + i*sin0) = 3(1+i*0) = 3 k=1 z = 3(cos^π₂ + i*sin^π₂) = 3(0 + i*1) = 3i k=2 z = 3(cosπ+i*sinπ) = 3(−1 + i*0) = −3 k=3 z = 3(cos^3π₂ + i*sin^3π₂) = 3(0 + i*(−1)) = −3i i koniec bo dla k=4 mamy kąt 2π a to już się pokrywa z 0

Basia: z⁴ − 81 = 0 (z²−9)(z²+9) = 0 (z−3)(z+3)(z−3i)(z+3i) = 0 i koniec zabawy

Martes: ZKS jesteś genialny ! w₀=3 w₁=3i w₂=3i²=3*(−1)=−3 w₃=3i³=3*(−1)*i=−3i Wystarczyło zamienić i² na −1. Teraz dobrze mam ?

Martes: ZKS − tak jest we wzorze który mam podany :

	2π		2π
wk=wk−1(cos		+isin		)
	n		n

gdzie k to poprzedni pierwiastek

Martes: znaczy się nie poprzedni tylko aktualny który chcę liczyć.

Martes: Proszę o odpowiedź.

ZKS: Właśnie zauważyłem że bierzesz poprzedni pierwiastek. Tak teraz jest dobrze musisz tylko zapamiętać że: i² = −1 i₃ = −i i⁴ = 1

Martes: Super, dziękuję