JEST TU JAKIŚ MATEMATYK ? Daniel:

	2π		2π
Jeśli a = cos(		) +sin(		) i p jest liczbą całkowitą
	n		n

1+ a^p + a^2p + a^3p +...+ a^(n−1)p

Artur_z_miasta_Neptuna: jezeli a i p ... to co

Daniel: oj, uciąłem kawałek, jaka jest wartość tego równania(?)

Daniel: w wersji pierwotnej brzmi to tak If a= cos (2pi/n) +isin (2pi/n) and p be prime to n,then what is the value of 1+ a^p + a²p + a³p +...+ a^(n−1)p p is an integer

Artur_z_miasta_Neptuna: no to p to jest liczba PIERWSZA a nie (tylko) całkowita

Artur_z_miasta_Neptuna: względem 'n'

Artur_z_miasta_Neptuna: masz to zapewne odnosnie liczb zespolonych ... pamiętaj, że: zⁿ = |z|ⁿ(cos γ + isin γ)ⁿ = |z|ⁿ (cos nγ + isin nγ)

Daniel: tak, jest to zawarte w treści, nie wiem czemu to pominąłem, jednak prosiłbym o wskazówkę jak rozwiązać to zadanie kompletnie nie wiem jak się za to zabrać

Artur_z_miasta_Neptuna: idąc dalej:

	γ +2kπ		γ +2kπ
zk = n√|z|(cos		+isin		) ; gdzie k=0,1,....,n−1
	n		n

z_k są PIERWIASTKAMI liczby zespolonej 'z'. W twoim przypadku γ=0^o; k=p; n=n; |z| = 1

Daniel: dziękuje, jednak posiedzę nad tym jeszcze chwilę i spróbuję to pojąć

Daniel: Artur z Gdańska, jesteś w stanie lepiej to objaśnić ?

Artur_z_miasta_Neptuna: szczerze −−− zespolone to tak mgliście kojarzę ... musisz trochę posiedzieć nad wzorkami z zespolonych jak dla mnie jest to suma pierwiastków liczby zespolonej o RE(z) = 1

Daniel: ponoć p=0 nie mam pojęcia jak do tego doszli

Mila: Jeśli p jest liczbą pierwszą to nie może być równe 0.

Basia: to ma być tak: jeżeli a= cos^2π_n + i*sin^2π_n i p jest liczbą pierwszą względem n to 1 + a^p + a^2p +....+a^(n−1)p jest liczbą całkowitą

Basia: a=1 ⇒ cos^2π_n = 1 i sin^2π_n = 0 ⇔ n=1 ⇒ p=1 i mamy S = a^0*1 = a⁰ = 1∊C a= −1 ⇒ cos^2π_n = −1 i sin^2π_n = 0 ⇔ n=2 ⇒ p=1 S = 1+a¹ = 1+(−1)¹ = 1−1 =0 dla a≠1 i a≠ −1 1, a^p, a^2p, a^3p,....,a^(n−1)p jest n−elementowym ciągiem geometrycznym a₁ = 1 q=a^p

	1−anp
S = 1+ap+a2p+...+a(n−1)p = 1*		=
	1−ap

2π*np   2π*np   1 − cos − i*sin   n   n
	=
1−ap

1−cos(2pπ) − i*sin(2pπ)
	=
1−ap

1−1−i*0		0
	=		= 0
1−ap		1−ap

c.b.d.u.

Basia: wyjaśnienie: przypadki a=1 i a= −1 muszę rozważać oddzielnie bo nie mogę tu zastosować wzoru na S_n ponieważ dla a=1 1−a^p =0, dla a= −1 taka możliwość istnieje (gdy p jest parzysta)

Basia: P.S. nie wiem tylko po co ta informacja, że p i n są względnie pierwsze. Korzystałam z niej wprawdzie w dowodzie dla a=1 i a= −1, ale to nie jest konieczne. Wiadomo, że 1^α=1 a suma samych jedynek musi być liczbą całkowitą. Wiadomo również, że (−1)^α = 1 lub −1, a suma jedynek i −jedynek musi dać liczbę całkowitą. Dla a≠1 i a≠ −1 jak wyżej.

Basia: a jeszcze trzeba oddzielnie rozpatrzyć przypadki dla a=i i dla a= − i zapomniałam o tym a tutaj ta informacja o względnie pierwszych się przyda, chociaż też można by się bez niej obejść.

Basia: no to jeszcze raz a=1 ⇔ cos^2π_n = 1 i sin^2π_n = 0 ⇔ n=1 ⇒ n=1 i p=1 S = 1^0*1 = 1 ∊C a= −1 ⇔ cos^2π_n = −1 i sin^2π_n = 0 ⇔ n=2 ⇒ n=2 i p=1 S = 1 + (−1){1*1} = 0∊C a=i ⇔ cos^2π_n = 0 i sin^2π_n = 1 ⇔ n=4 ⇒ mamy dwie możliwości n=4 i p=1 S = 1 + i¹ + i² + i³ = 1+i−1−i = 0∊C n=4 i p=3 S = 1 + i³ + i⁶ + i⁹ = 1 −i − 1 +i⁸*i = −i +i = 0∊C a= −i ⇔ cos^2π_n = 0 i sin^2π_n = −1 a to dla n∊N jest niemożliwe bo musiałoby być ^2π_n = ^3π₂ ⇔ 4π = 3nπ ⇔ n = ⁴₃ ∉N dla a≠±1 i a≠±i wyrażenie 1−a^p ≠ 0 (dla p całkowitych)

	1−anp
S =		=
	1−ap

1 − cos2nπn − i*sin2nπn
	=
1−ap

1−cos(2π) − i*sin(2π)		1−1−i*0
	=		= 0∊C
1−ap		1−ap

c.b.d.u.

Daniel: dzięki wielkie, jednak chciałbym zaznaczyć że 0 jak najbardziej jest liczbą pierwszą

Basia: 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi dlaczego 0 to wiem, jest przecież podzielne przez każdą inną liczbę całkowitą a dlaczego 1 nie pamiętam nie o to zresztą chodziło, tylko o to, że muszę oddzielnie rozważyć przypadki, dla których 1−a^p = 0, bo dla tych a nie mogę zastosować wzoru (przez 0 dzielić nie wolno)