Oblicz zbieżność szeregu Kark: Oblicz zbieżność szeregu ∞ ∑ (1/[2n(2n+2)] n=1 Wolfram pokazuje, że powinno wyjść 1/4, mi na koniec zostało (1/2/(n−1) + (−1/(n+1) + 1/2/(n+2)) Dwa wyrazy z ntej liczby szeregu i jeden z liczby n−1. Mi wychodzi, że szereg dąży do zera, bo w licznikach wszędzie jest 1/n, a z tego co rozumiem to dąży do zera, więc cały wyraz też jest 0?

Kark: oczywiście obliczyć z definicji. Prosta rzecz, ale ja już się zdążyłem pogubić. Jeśli ktoś pomoże, będę bardzo wdzięczny.

Basia:

1		1		1		1		1
	=		=		=		*		=
2n(2n+2)		2*2*n(n+1		4n(n+1)		4		n(n+1)

1		1		1
	* [		−		]
4		n		n+1

	1		1		1		1
∑		= ∑		* [		−		] =
	2n(2n+2)		4		n		n+1

1		1		1
	∑[		−		]
4		n		n+1

1
	*[ 1 − 12 +12 − 13 +13 −........................] =
4

1
	*1
4

bo szereg jest nieskończony i nic oprócz 1 nie zostaje −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− albo tak

	1		1
∑		= limk→+∞∑0....k		=
	2n(2n+2)		2n(2n+2)

	1
limk→+∞		*[ 1 − 12+12−...........+1k−1k+1] =
	4

	1		1		1
limk→+∞		*[ 1 − 1k+1 ] =		*[ 1 − 0] =
	4		4		4

Kark: Odnośnie tej pierwszej wersji, gdy podstawiałaś kolejne wyrazy, na końcu zostaje ¹_n (które się skróciło) i ⁻¹_n+1 które dąży do zera, tak? Dzięki Ci bardzo, jakoś przystępniej się za to zabrałaś niż mnie nauczyli

Basia: na końcu nic nie zostaje, bo końca ............... nie ma

Kark: Źle się wyraziłem,chodziło mi o n'ty wyraz tego ciągu to ...+¹_n−¹_n+1. Nie jest ostatni, bo ciąg jest nieskończony, to rozumiem, ale przywykłem, że na końcu się go stawia, żeby tak jakby "zamykał"

Kark: Haha, dobra, wiem co źle robiłem po swojemu, pochrzaniłem znaki, dzięki za pomoc Basia. Twoje też mi pomogło.