znajdz dystrybuantę,wartość oczekiwana, wariancje kesnall: Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f(x) = {2x, jeśli x∊ [0,1] {0, jeśli x ∉ [0,1] a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X b) Obliczyć P(−1≤X≤3) c) Obliczyć E(X) oraz D²(X)

Trivial: a) F(X) = _−∞∫ ^X f(x)dx = ... b) P(−1 ≤ X ≤ 3) = F(3) − F(−1) = ... c) E(X) = _−∞∫^+∞ xf(x)dx = ... E(X²) = _−∞∫^+∞ x²f(x)dx = ... D²(X) = E(X²) − E²(X) = ...

kesnall: dzięki, a czy mógłbym prosić o dokończenie D² i podpunktu b) ?

Trivial: a) Zakładając, że X∊[0,1] (dla pozostałych przypadków mamy trywialny wynik: X<0 → F(X) = 0; X>1 → F(X) = 1; F(X) = ∫_−∞...X f(x)dx = ∫_−∞...0 f(x)dx + ∫_0...X f(x)dx = = ∫_−∞...0 0dx + ∫_0...X 2xdx = 0 + X² = X². b) F(3) − F(−1) = 1 − 0 = 1.

	2x3		2
c) E(X) = ∫0..1 x*2xdx = [		]0...1 =		.
	3		3

	2x4		1
E(X2) = ∫0..1 x2*2xdx = [		]0...1 =		.
	4		2

	1		2
D2(X) = E(X2) − E2(X) =		− (		)2 = ...
	2		3

lambar: Zmienna losowa x ma rozkład o gestości f(x) = 6x⁵, dla x€[0,1] a dla pozostałych x€R a) sprawdzić ze f jest gestoscia b) znależć dystrybuantę c) obliczyć P (−1≤ x ≤¹₂)

Artur_z_miasta_Neptuna: wybacz, ale nie bardzo rozumiem fragment: "a dla pozostałych x€R" ... co to ma oznaczać jaka jest gęstość x∉<0,1>

b.: a dla pozostałych zero −− inaczej byc nie moze, bo f na [0,1] całkuje się do jedynki...

Artur_z_miasta_Neptuna: b −−− skoro ma 'sprawdzić' to może wlaśnie tutaj wyjść, że nie jest ... dlatego się pytałem

lambar: Właśnie też mam z tym kłopot, dokładnie w takiej formie jest to napisane: Zmienna losowa x ma rozkład o gestości f(x) = 6x⁵, dla x€[0,1] a dla pozostałych x€R

Artur_z_miasta_Neptuna: aaaaa no widzisz więc od razu masz, że ∫_−∞^+∞ f(x) dx = 1 ... ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ 6x⁵ dx = [x⁶]₀¹ = 1 czyli ... aby f(x) była gęstością rozkładu zmiennej losowej X ... to 'a' = 0

Artur_z_miasta_Neptuna: i od razu też masz dystrybuantę: F(X) =

⎧	0, dla x≤0
⎨	x6 dla x∊(0,1>
⎩	1 dla x>1

Artur_z_miasta_Neptuna:

	1		1		1
P (−1≤ x ≤		) = F(		) − F(−1) = (		)6 − 0 = ....
	2		2		2

lambar: Bardzo dziękuje za pomoc!

lambar: Czy mógłbym poprosić abyście mi jeszcze coś powiedzieli na temat wartości oczekiwanej i wariancji odnośnie tego zadania?

Artur_z_miasta_Neptuna: wartość oczekiwana (EX) : ∫_−∞^+∞x*f(x) dx = ... de facto ... = ∫₀¹ x*(6x⁵) dx =

	6		6
= [		x7]01 =
	7		7

wariancja (D²x) : E(X²) − (E(X))²

	6
E(X2) = ∫01 x2*f(x) dx =
	8

więc D²X = ....

lambar: to ile w końcu wyniesie D2X?