ciąg patolog: Ciąg (a_n) spełnia równanie: a_n+1−2a_n+a_n−1=1 n∊N n≥2,a1,a2 − dane Wyznaczyć wzór dla a_n. Pomożecie?

Basia: jaki to poziom ? szkoła czy studia ? jeżeli szkoła to chyba jeszcze musi być coś o tym ciągu wiadomo

patolog: no studia. i tylko tyle jest w zadaniu

Artur z miasta Neptuna: a₃ = 1+2a₂−a₁ a₄ = 1+2a₃−a₂ = 1+1+2a₂−a₁−a₂ = 2 + a₂ − a₁ a₅ = 1+2a₄−a₃ = 1+4+2a₂−2a₁−(1+2a₂−a₁) = 4−a₁ a₆ = 1+2a₅−a₄ = 1+ 8−2a₁ − (2+a₂ − a₁) = 7 − a₂ − a₁ a₇ = 1+2a₆ − a₅ = 1 + 14 − 2a₂ − 2a₁ −(4−a₁) = 11 − 2a₂ − a₁ a_n = C +(5−n)a₂ −a₁ problem jest tylko z przedstawieniem wyrazu wolnego, który jest dany ciągiem: 1 2 4 7 11 16 22 ....

Artur z miasta Neptuna: C₃ = 1 n C_n = ∑ (k−2) k=3

Artur z miasta Neptuna: tfu ... miało być inaczej

patolog: jak inaczej?

Artur z miasta Neptuna: patolog −−− pokombinuj z przedstawieniem tego wyrazu wolnego

patolog: przecież gdy przekształce wzór to mam:

	1		an−1		an−1
an=−		+		+
	2		2		2

a ty podstawiając po kolei 2,3,4.. nie podstawiasz pod ten wzór

patolog: robiłem tak ale to chyba źle: a₃−2a₂+a₁=1 dla n=2 a₄−2a₃+a₂=1 dla n=3 a₅−2a₄+a₃=1 dla n=4 a₆−2a₅+a₄=1 dla n=5 a₇−2a₆+a₅=1 dla n=6 . . . . . . a_n−1−2a_n−2+a_n−3=1 dla n=n−2 a_n−2a_n−1+a_n−2=1 dla n=n−1 a_n+1−2a_n+a_n−1=1 dla n=n i to wszystko sumujemy to mamy a_n+1−a_n−a₂+a₁=1₂+1₃+1₄+...+1_n−1+1₁

patolog: a to się równa a_n=a_n+∑₂ 1_k

patolog: to jak to w koncu będzie arturze?

Hary:

patolog: Przepraszam , to co w końcu będzie?

Krzysiek: a_n −2a_n−1 +a_n−2 =0 szukamy rozwiązania równania jednorodnego w postaci: a_n=rⁿ rⁿ −2rⁿ⁻¹ +rⁿ⁻² =0 (dzielimy przez rⁿ⁻² ) r² −2r+1=0 czyli: (r−1)² =0 zatem: r=1 (krotności 2 ) rozwiązania równ. jednorodnego są postaci: a_n =c₁ *1ⁿ +c₂ n 1ⁿ =c₁ +nc₂ rozwiązując równanie niejednorodne: a_n −2a_n−1 +a_n−2 =1 metodą przewidywań szukamy rozwiązania w postaci: a_n =bn² (gdzie b−stała) (po prawej stronie mamy wielomian stopnia zerowego, więc 'normalnie' byłoby a_n =b jednak to rozwiązanie pokryje się z rozwiązaniem jednorodnym: 1ⁿ podobnie: a_n=b*n jak wstawisz do równania zobaczysz, że się wyzeruje lewa strona ) wstawiając do równania: a_n =bn² otrzymujemy: bn² −2b(n−1)² +b(n−2)² =1 2b=1 zatem b=1/2 czyli wzór jawny równ. rekurencyjnego to: a_n =c₁ +nc₂ +1/2 (gdzie c₁ ,c₂ trzeba wyliczyć, wstawiając warunki początkowe )