wartości i wektory własne ilona00: Hej, mam problem z takim zadaniem: wyznacz wartości własne i wektory własne: | 1 2 0 | | 4 1 0 | | 0 0 7 | = | 1−L 2 0 | | 4 1−L 0 | | 0 0 7−L | = ( (1−L)² − 8 )* (7−L)= (1−L−2√2)*(1−L+2√2)*(7−L) więc wartości wlasne to L1= 1−2√2 L2= 1+2√2 L3=7 wektory własne dla 7 są proste i nie będę już wypisywać, ale dla 1−2√2 oraz analogicznie dla 1+2√2 ? zapiszę to co mi się wydaje: dla L1= 1−2√2 | 2√2 2 0 | | x | | 0 | | 4 2√2 0 | | y | | 0 | | 0 0 6+2√2| * | z | = | 0 | powstaje układ równań: 2√2x +2y=0 −> y=−√2x 4+ 2√2y=0 6+2√2z=0 i pytanie: jak zapisać wektor, bo kompletnie nie wiem...... BARDZO proszę o odpowiedź, mam jutro egzamin, kilka razy pytałam tu już o coś i nikt nigdy nie odpowiedział, mam nadzieję że teraz się zlituje

Krzysiek: w drugim równaniu brakuje 'x' z trzeciego równania wynika, że z=0 y=−√2x i wstawimy do drugiego równania to otrzymamy tożsamość(∞ wiele rozwiązań ) zatem: x=t y=−√2t z=0 dla t∊R więc wektor własny to: Lin{(t,−√2t,0),t∊R } =(1,−√2,0)

ilona00: ale jeśli przekształcimy 3 równanie to otrzymamy 2√2z=−6 więc i tak i tak z=0? nie do końca rozumiem dlaczego, byłabym wdzięczna gdybyś wytłumaczył

Krzysiek: ponieważ w trzecim równaniu mamy: (6+2√2)z=0 czyli z=0

ilona00: no tak, bo to w nawiasie bo mnożymy z przez całość ale jestem tępa, dzięki za odpowiedź

ilona00: chociaż jeśli jesteś tak miły i mi pomagasz, to może pomożesz mi jeszcze w jednym zagadnieniu, mianowicie jak obliczać wektory/wartości własne, kiedy macierz w elementach A31, A32, A13, A23 nie ma "zer", konkretnie w miejscach oznaczonych x: | y y x | | y y x | | x x y |, wiem jak obliczać jeśli poza przekątnymi też znajduje się coś w elementach A12 i A21, bo wtedy liczę tak jakby wyznacznik tej macierzy 2x2 i mnożę przez element A33, tak jak w poprzednim zadaniu, ale co zrobić gdy wymienione przeze mnie elementy są niezerowe? Mam nadzieję że wyraziłam się jasno, będę niewymownie wdzięczna za odpowiedź, bo przykłady z wykladu nie były robione dla nich, a widzę że może się takie zadanie pojawić

Krzysiek: chodzi Tobie jak wyliczyć wyznacznik takiej macierzy? z rozwinięcia Laplace'a skorzystać http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozwini%C4%99cie_Laplace'a

ilona00: nie nie, teraz juz sama rozumiem, że przy wartościach własnych chodzi tylko o wyznacznik z x− lambda po przekątnych, podano nam gotowy schemat zamiast powiedzieć by wyliczyć wyznacznik danej macierzy, niezależnie od tego jaki ma wymiar

Sebastiano: Może komuś się przyda parę przykładów wyliczania wartości i wektorów własnych macierzy http://obliczone.pl/zadania/macierze/warto%C5%9Bci-i-wektory-w%C5%82asne