funkcja tworząca ksiądz: Rozwiązać równanie rekurencyjne stosując odpowiednią funkcję tworzącą a_n=a_n−1+6a_n−2 a₀=3 , a₁=4 , n≥2 Zrobiłem ale pewnie dużo błędów jest(bo wynik nie wychodzi) i nie wiem czy tak mogę liczyć. dlatego proszę o sprawdzenie (∑₀ − oznacza że zero jest pod tym symbolem∑ a nieskonczoność nad nim) f(x)=∑₀a_nxⁿ=3+4x+∑₂(a_n−1+6a_n−2)xⁿ=3+4x+∑₂a_n−1xⁿ + ∑₂6a_n−2xⁿ=3+4x+ x∑₂a_n−1xⁿ⁻¹+6x²∑₂a_n−2xⁿ⁻²=3+4x+xf(x)+6x²f(x) f(x)=3+4x+xf(x)+6x²f(x) −6x²f(x)−xf(x)+f(x)=3+4x f(x)(−6x²−x+1)=3+4x

	3+4x
f(x)=
	−6x2−x+1

	1
−6x2−x+1 = (−6x−3)(x−		)
	3

A		B		3+4x
	+		=
−6x−3		1   x−   3		1   (−6x−3)(x− )   3

1   A(x− )+B(−6x−3)   3		3+4x
	=
1   (−6x−3)(x− )   3		1   (−6x−3)(x− )   3

	1
/*(−6x−3)(x−		)
	3

	A
Ax−		−B6x−3B=3+4x
	3

więc układ równań: A−6B=4

	A
−		−3B=3
	3

i po obliczeniach wyszło mi :

	13
B=−
	15

	6
A=−
	5

więc

	6   −   5		13   −   15
f(x)=		+
	−6x−3		1   x−   3

	6   −   5		13   −   15
f(x)=		+
	−3−6x		1   − +x   3

	6   −   5		(−3)		13   −   15
f(x)=		+		*
	−3(1+2x)		−3		1   − +x   3

	6   −   5		39   15
f(x)=		+
	−3(1+2x)		1−3x

	1		6		1		13		1
f(x)=		*		*		+		*
	3		5		1+2x		5		1−3x

	6		1		13		1
f(x)=		*		+		*
	15		1+2x		5		1−3x

6		13
	∑0(−1)n(2x)n+		∑0(3x)n
15		5

	6		13
∑0[		(−1)n*2n+		*3n]xn
	15		15

	6		13
to an=		(−1)n*2n+		*3n
	15		15

A w odpowiedzi mam że a_n powinno wynosić : a_n= (−2)ⁿ+2*3ⁿ więc napewno coś musiałem tu źle zrobić ale sprawdzam to i nic nie mogę wymyślić co tu jest źle dlatego proszę o pomoc

ksiądz: pomoże ktoś ?

ksiądz: ?

ksiądz: pomocy błagam

ksiądz: niech mi ktoś wskarz błąd

Krzysiek:

	3+x
funkcja tworząca jest źle wyznaczona: f(x)=
	1−x−6x2

Basia: a_n=a_n−1+6a_n−2 dla n≥2 a₀=3 , a₁ =4 f(x) = ∑_n=0,.... a_nxⁿ = 3 + 4x + ∑_n=2..... a_nxⁿ = 3 + 4x + ∑_n=2.....[ a_n−1+6a_n−2 ]*xⁿ 3 + 4x + ∑_n=2..... a_n−1*xⁿ + 6∑_n=2.........a_n−2*xⁿ 3 + 4x + ∑_n=2..... a_n−1*xⁿ⁻¹*x + 6∑_n=2.........a_n−2*xⁿ⁻²*x² = 3 + 4x + x*f(x) + 6x²*f(x) f(x)*[ 1 − x − 6x² ] = 3+4x

	4x+3
f(x) =
	−6x2 − x + 1

Δ=1 − 4*(−6)*1 = 25 √Δ=5

	1−5		1
x1 =		=
	−12		3

	1+5		1
x2 =		= −
	−12		2

−6x²−x+1 = −6(x−¹₃)(x+¹₂) = −(3x−1)(2x+1) = (1−3x)(1+2x)

4x+3		A		B
	=		+
(1−3x)(1+2x)		1−3x		1+2x

A(1+2x) + B(1−3x) = 4x+3 (2A−3B) + (A+B) = 4x+3 A+B=3 2A−3B=4 3A+3B = 9 2A −3B = 4 5A = 13

	13
A =
	5

	2
B =
	5

	13		2
f(x) =		+
	5(1−3x)		5(1+2x)

dalej mi się nie chce liczyć, ale może teraz będzie dobrze

Basia: skąd Ci się Krzysiek wzięło 3+x ? przecież a₁ = 4

Krzysiek: Basia,ksiądz jak macie szereg od n=2, i potem zamieniacie na f(x) to można przeindeksować do n=0 ale trzeba odjąć pierwszy element tej sumy czyli: a₀ x =3x stąd funkcja tworząca ma postać, jaką napisałem

Basia: no tak ∑_n=2..... a_n−1*xⁿ⁻¹*x ≠ f(x)*x ∑_n=2..... a_n−1*xⁿ⁻¹*x = [ f(x) − a₀ ]*x = x*f(x) − 3x Krzysiek ma rację; a ja "nie dowidziałam", że w tej sumie brakuje a₀

Basia: muszę to jednak pisać na papierze; na monitorze autentycznie nie dopatrzyłam, że tu mam n=2 a wskaźnik n−1 czyli zaczyna się od 1, a nie od 0

Krzysiek: akurat do jednorodnego równania jest łatwiejsza metoda znalezienia funkcji tworzącej stąd wiedziałem, że jest błąd

ksiądz:

ksiądz: aha

ksiądz: a krzyśku a to co basia zrobiła to jest źle

Krzysiek: no ten post o 16.29 to źle wyznaczyła funkcję tworzącą więc dalszych obliczeń nie sprawdzałem, ale później poprawiła błąd. Po prostu musisz zacząć od nowa rozwijać w szereg tą funkcję (lub jeżeli już rozumiesz jak się to robi, zabrać się za kolejne zadanie)

ksiądz:

	3+x
tylko nie mogę zrozumieć skąd się wzieło że f(x)=		te 3+x?
	1−x−6x2

Mógłbyś rozpisać obliczenia abym zobaczył gdzie zrobiłem błąd ?

Krzysiek: Basia napisała co zrobiłeś źle jak masz sumę: ∑₂ a_n−1xⁿ⁻¹ =∑₁ a_nxⁿ =∑₀ a_n xⁿ −a₀x⁰

ksiądz: czyli nie można zamienić ∑₂a_n−1xⁿ⁻¹ na fx ?

Krzysiek: no nie, bo zaczynasz sumować od a₁x¹ a f(x) jest zdefiniowane od n=0

ksiądz: ja myślałem tak że ∑₀ a_nxⁿ = f(x) ∑₁ a_n−1xⁿ⁻¹ = f(x) ∑₂ a_n−2xⁿ⁻² = f(x) ∑₃ a_n−3xⁿ⁻³ = f(x) a wic tzlko to jest prawidowe ∑₀ a_nxⁿ = f(x)

ksiądz: znaczy ∑₀ a₀x⁰ = f(x) to jest prawdziwe

Krzysiek: to co wyżej napisałeś to prawda(tzn, te wszystkie szeregi są równe f(x), przecież wszyskie zaczynają się od a₀ x⁰ ), tylko, że przecież Ty masz coś takiego: ∑₂ a_n−1 xⁿ⁻¹ a taki szereg nie wypisałeś powyżej...

ksiądz: czyli ten szereg powinien się zaczynać od 1 a zaczyna się od 2 tak ?

Krzysiek: czyli ten szereg powinien się zaczynać od a₀ x⁰ (tak jak zdefiniowana jak funkcja f(x) ) a zaczyna się od a₁ x¹ przecież pierwszy wyraz sumy: ∑₂ a_n−1 xⁿ⁻¹ to: a₁ x¹ ...a ma być a₀ x⁰ ...

ksiądz: wię trzeba odiąć a₀x⁰ żeby mieć pierwszy wyraz sumy a₀x⁰ tak?

ksiądz: to juz rozumiem dziekuję bardzo

ksiądz: czyli podsumowując ∑₀ a_nxⁿ = fx ∑₂ a_n−2xⁿ⁻² = fx ∑₃ a_n−3xⁿ⁻³ = fx ∑₂ a_n−1xⁿ⁻¹ = fx − a₀x⁰ ∑₂ a_nxⁿ = fx −a₁x¹−a₀x⁰ tak

Basia: dokładnie

ksiądz: dziękuję