Algebra Godzio: Witam, mam takie zadanie: Pokazać, że operator (A − i * I) jest odwracalny, gdzie A jest operatorem hermitowskim.

Basia: co te symbole mają oznaczać ? i − jednostka urojona ? l − ?

Godzio: i − jednostka urojona I − macierz jednostkowa,

Godzio: Da się coś wymyślić Ogólnie chciałbym to mieć ogarnięte do 4 czerwca jakoś

b.: jaki jest kontekst? przestrzeń Hilberta?

Godzio: Oj nie wiem. Nic więcej nie mam napisane

Basia: coś mi tam świta, ale nie chcę Ci znowu głupot popisać muszę przemyśleć

b.: operator hermitowski ma spektrum zawarte w R, stąd teza są 2 możliwości: zadanie jest banalne (typu na sprawdzenie, czy ktoś przeczytał listę) −− i w takiej sytuacji to koniec rozwiązania, albo 'nie wiadomo', że operator hermitowski ma spektrum zawarte w R i wówczas praktycznie rzecz biorąc należy to wykazać

Godzio: Żebym to ja wiedział co to jest spektrum zwarte. Wiem co to spektrum, ale zwarte?

Mila: Godzio, zmobilizowałeś mnie, abym przypomniała sobie całki. Zrobiłam już 80.

b.: nie zwarte, tylko zawarte (a zwarte też jest swoją drogą, jeśli tylko A jest ograniczony, nie jestem pewien czy zupełność jest istotna)

Godzio: Hehe, w końcu coś dobrego zrobiłem b. a tak po polsku trochę To, że ma spektrum w R to wiem. To akurat mieliśmy udowodnione, w takim razie na czym polega ten banał ?

b.: aha, teraz widzę tytuł: Algebra, więc zapytam jeszcze raz o kontekst: skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa?

b.: skoro to wiesz, to zadanie jest z cyklu banalnych co to jest spektrum operatora?

Godzio: Tak, skończenie wymiarowa Spektrum to zbiór wartości własnych

b.: aha, ok, widzisz nie podasz kontekstu i nie wiadomo o co Ci chodzi myślałem, że chodzi o dowolne przestrzenie liniowe (niekoniecznie skończenie wymiarowe) ale zadanie i tak jest nietrudne: wystarczy wykazać, że A− i*I jest różnowartościowy, czyli że jeśli (A−i*I)x = 0, to x=0

Godzio: Tylko się nie śmiej Coś takiego próbowałem: <(A − iI)x,y> = <x,(A + iI)y> = 0 ⇔ (A − iI)x = y = 0 i x = (A + iI)y = 0 ⇒ x = 0 i y = 0

b.: druga linijka jest niejasna (i to nieprawda) jeśli (A−i*I)x = 0 oraz x≠0, to x jest wektorem własnym A, jaka jest odp. wartość własna? ...wnioski?

Godzio: (A − i * I)x = 0 dla x ≠ 0 Ax − ix = 0 Ax = ix Czyli wartością własną jest λ = i, ale operator A jest hermitowski, więc ma rzeczywiste wartości własne, sprzeczność więc x = 0, a (A − i * I) ≠ 0

b.: ,,a (A − i * I) ≠ 0'' −− to prawda, ale jaki to ma związek z resztą? Twoje rozumowanie aż do ,,więc x = 0'' dowodzi różnowartościowości A−i*I, a stąd dostajemy jego odwracalność (bo przestrzeń jest skończenie wymiarowa)