Zadanie 2 dla maturzystów. Bogdan: Raczej łatwe. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania w liczbach naturalnych każdego z równań: 1. x² – y² = 2009 2. x² + y² = 2009

Michał Szczotka:): (x−y)(x+y)=2009 1. x−y=1 2.x−y=41 x+y=2009 x+y=49 to co do pierwszego później uzasadnię jeśli nikt nie będzie wiedział dlaczego

radek: nie czaje najmniejsza para liczb spelniajaca rownanie pierwsze bedzie x=45 i y=4 , przy czym x napewno musi byc wiekszy od y

@Basia: A nie może być jeszcze x−y = 7 i x+y = 41*7 ? Jak myślisz Mickej ?

Michał Szczotka:): właśnie to mnie trochę ciekawi bo 2009=7*7*41ale nie jestem tego do końca pewien postawił bym jednak na to że nie

Michał Szczotka:): ale oczywiście sprawdził bym czy jest rozwiązaniem

radek: x=147 i y = 140 spelniaja rowniez rownosc pierwsza

@Basia: x²−y² = (x−y)(x+y) = 2009 czyli x−y i x+y muszą być naturalnymi dzielnikami 2009 2009 = 1*7*7*41 stąd: x−y = 1 x+y = 2009 x−y = 7 x+y = 7*41 x−y = 41 x+y = 49 x−y = 49 x+y =41 (ale to w N niemożliwe) Twoja para to rozwiązanie drugiego układu, który akurat Mickej przeoczył

radek: x=1005 i y= 1004 tez

Michał Szczotka:): no to teraz jedziemy 2

dpelczar: moze mi to ktos wytlumaczyc nie moge sobie z tym poradzic...

radek: no ja tak samo

Michał Szczotka:): ide się myć ale wrócę

@Basia: Rozwiąż Radku te trzy układy i dostaniesz wszystkie rozwiązania.

@Basia: Czego nie rozumiecie ? Napisałam Wam całe rozwiązanie. Pytajcie konkretnie.

radek: no dobrze ale jestescie pewni ze nie ma wiecej rozwiazan?

@Basia: Całkowicie !

radek: wynika to stad ze 2009 ma malo dzielnikow naturalnych tak?

Michał Szczotka:): nie nie nie to jest rozkład 2009 na czynniki pierwsze 2009 = 7*7*41 to się bierze stąd i iloczyn (x−y)(x+y)właśnie musi być iloczynem liczb pierwszych =2009

radek: oks juz czaje masakra, oby takich cudow nie dali

@Basia: Przecież x²−y² = (x−y)(x+y) = 2009 = 1*7*7*41 x,y ∈N ⇒ x+y∈N i x−y∈C ale x−y nie może być ujemne bo wtedy iloczyn byłby ujemny ⇒ x−y∈C₊=N czyli x−y i x+y muszą być naturalnymi dzielnikami 2009 i x−y>0 ponadto x−y < x+y (bo to są liczby naturalne) a takie możliwości sa tylko 3: 1, 2009 7, 7*41=287 41, 49 pozostałe mozliwości nie spełniaja warunku x−y<x+y ale można je po prostu sprawdzać

radek: ten drugi uklad rownan {x−y=41 {x+y=49 nie spelnia pierwszego rownania przeciez albo naprzyklad x=45 i y = 4 spelniaja rownanie a tego nie wzieliscie pod uwage sorry ze jestem nachalny, proboje zrozumiec prosze o cierpliwosc

radek: lee dobra ale ja jestem glupi ok juz czaje

Michał Szczotka:): zadanie 2 ma 2 rozwiązania tylko trochę mi zajmie zanim dojdę do tego jakie

@Basia: Podpowaiadam x²+y² =41*49 = 41*7² 41 na pewno nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej k*41 gdzie k∈N i k≤49 może być kwadratem liczby naturalnej ⇔ k=41, ale wtedy 41*49=41(41+8) = 41² + 8*41 a 8*41 nie jest kwadratem żadnej l.naturalnej czyli rozkładanie 49 nic nie da i jedyne rozwiązania można uzyskać rozkładając odpowiednio 41 a rozłozyć 41 na sumę kwadratów już jest łatwo

Michał Szczotka:): to co teraz zrobiłaś to wiem ale w drugą stronę aby rozłożyć mniejszą liczbę nie nadążam 41=4²+5² to jest suma kwadratów =41 ale nie bardzo wiem jak dalej

Michał Szczotka:): no chyba że ta x²+y²=(16+25)(16+33)=16²+400+825+528=2009

@Basia: 41 = 16+25 = 4² + 5² 41*49 = (4²+5²)*7² = (4*7)² + (5*7)² i innych możliwości nie ma x = 28 y=35 lub x=35 y=28

Michał Szczotka:): 400+825+528=1753 nie jest kwadratem żadnej liczby x²+y²=(25+16)(25+24)=25²+400+600+384=25²+1384też nie

Michał Szczotka:): no fakt ale ze mnie pała a ja próbowałem inaczej

@Basia: Lenistwo to nie jest taka zła rzecz. Pierwsze, ale jedno i tylko jedno, podejście było jak Twoje, ale natychmiast stwierdziłam, że to głupiego robota i ja się tak nie bawię. Za dużo roboty. No to trzeba coś wymyślić, żeby było mało roboty. I już.

Michał Szczotka:): Teraz jedyne co robię to oczekuje na kolejne zadanie

miśka: pomozecie z zadaniem z wycinkiem?

@Basia: A gdzie ono jest ?

miśka: no na gorze teraz

Bogdan: Dobry wieczór. Zad. 1. x² − y² = 2009 (x − y)(x + y) = 2009, 1 * 2009 = 2009, 2009 * 1 = 2009, 7 * 287 = 2009, 287 * 7 = 2009, 41 * 49 = 2009, 49 * 41 = 2009. Rozpatrujemy układy równań: A. x−y = 1 B. x−y = 2009 x+y = 2009 x+y = 1 C. x−y = 7 D. x−y = 287 x+y = 287 x+y = 7 E. x−y = 41 F. x−y = 49 x+y = 49 x+y = 41 Układy B, D, F mają rozwiązania nie spełniające warunki zadania. A. x = 1005, y = 1004. C. x = 147, y = 140. E. x = 45, y = 4 Zad. 2. x² + y² = 2009 Korzystamy z: Jeśli x² + y² = z i z = c*d² to po podstawieniu: x = ad, y = bd otrzymujemy a²d² + b²d² = cd², po podzieleniu przez d² mamy: a² + b² = c. 2009 = 41*7², x = 7a, y = 7b, 49a² + 49b² = 41*49 a² + b² = 41 Jedyne rozwiązania spełniające warunki zadania to: 4² + 5² = 41 lub 5² + 4² = 41. a = 4 i b = 5 lub a = 5 i b = 4. x = 4*7 = 28 i y = 5*7 = 35 lub x = 5*7 = 35 i y = 4*7 = 28. 28² + 35² = 2009 lub 35² + 18² = 2009. Basiu, gratuluję! W nowym wątku zamieszczam kolejne zadanie maturalne z liczbą 2009.