arkusz radek: oblicz sume 12 poczatkowych wyrazow ciagu (a_n) tu wyjdzie troche duza liczba z pewnoscia jest jakis sposob na to zadanie. ja bym to robil dodajac w slupku poprostu: 999999999999 a₁₂ 99999999999 9999999999 999999999 99999999 9999999 999999 99999 9999 999 99 a₂ 9 a₁ _______________________+____ wynik

Klara: Podpowiem

magda: proste jak cholera

Bogdan: Podpowiedź: a₁ = 9*1 a₂ = 9*10 + 9 = 9(1 + 10) = 9(10⁰ + 10¹) a₃ = 9*100 + 9*10 + 9 = 9(1 + 10 + 100) = 9(10⁰ + 10¹ + 10²) a₄ = 9*1000 + 9*100 + 9*10 + 9 = 9(1 + 10 + 100 + 1000) = 9(10⁰ + 10¹ + 10² + 10³) ... a_n = 9*10ⁿ⁻¹ + 9*10{n−2} + ... + 9*10¹ + 9*10⁰ = 9(10⁰ + 10¹ + ... + 10ⁿ⁻¹) Z jakim ciągiem mamy tu do czynienia? Wystarczy wyznaczyć sumę wyrazów ciągu: 10⁰ + 10¹ + 10² + ... + 10ⁿ⁻¹

magda: ale zalezy jaki ciag

Klara: zapisz a_n tak: a_n = 10ⁿ −1 to otrzymasz: a₁ +a₂ +a₃+.......+a₁₂ zatem: (10¹−1) +(10² −1) + ( 10³ −1) +..... + ( 10¹² − 1) zatem S₁₂ = 10 − 1 + 10² − 1 +10³ − 1 + .... + 10¹² −1 masz zatem: S₁₂ = ( 10 + 10² +10³ +.... + 10¹²) − 12 w nawiasie masz sumę ciagu geometr. gdzie a₁ = 10 q= 10 policz S₁₂ geometrycznego) minus 12 i to wszystko Powzdrawiam

Bogdan: a_n = 9*10ⁿ⁻¹ + 9*10ⁿ⁻² + ... + 9*10¹ + 9*10⁰ = 9*(10⁰ + 10¹ + ... + 10ⁿ⁻¹) Przepraszam Klaro, rozpoczynając pisanie nie widziałem Twojego anonsu.

radek: okej dziekuje wszystkim chyba kapuje mam podpunkt b) i sproboje tak samo zrobic

radek: do pierwszego wynik wyjdzie s₁₂= 1111111111098 a teraz podpunkt b) gdzie b_n = 77...7 (podobna sytuacja tylko zamiast 9 jest 7) zabieram sie za liczenie

Klara: No ciekawe ? czy zuważysz pewną zależność do a_n wtedy będzie sukces

radek: juz pisze zaleznosc

radek: s₁2 = (10¹ − 3) + (10²−3*11) + (10³−3*11²)+ ...+ (10¹2 − 3*11¹1) w dobrym kierunku ide?

radek: ostatni nawias powinien byc (10¹² − 3*11¹¹)

radek: heh sam nie wiem jak na to wpadlem ale chyba dobry kierunek to jest

Klara: A może tak? b_n = ⁷₉*a_n b_n = ⁷₉*( 10ⁿ −1) o wiele łatwiej bo S₁₂ dla b_n = S₁₂ dla a_n *⁷₉

radek: hehe o kurcze niewpadl bym na to dzieki zabieram sie za liczenie

radek: a czy S_b to bedzie rowna (S_a * ⁷₉) ?

Klara: taaak

radek: ok bo juz chcialem sie meczyc z wymnazaniem nawiasow, dzieki ⇒ pod wieczor juz nie mysle tak jak z ranaa