rozkład Ania: Jak rozłożyć na czynniki x⁴+x²+1

dyill: wstaw za x kwadrat niewiadoma pomoconicza t, t∈R

dyill: rozwiazujesz rownanie kwadratowe, i pierwiastki co ci wyjda przyrownaj do x kwadrat i masz odp

dyill: no a potem do postaci iloczynowej oczwiscie i juz masz rozlozone

Jacek Karaśkiewicz: Ponieważ ten wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc da się go rozłożyć tylko do iloczynu trójmianów kwadratowych (oczywiście ma pierwiastki zespolone, ale rozumiem, że chodzi tu o pierwiastki rzeczywiste). Tak więc musi być (a₀x² + a₁x + a₂)(b₀x² + b₁x + b₂) = x⁴ + x² + 1 I to musi być równość tożsamościowa. Ponieważ można otrzymać wiele równorzędnych takich rozkładów, więc ustalmy a₀ = b₀ = 1. Wtedy szukamy dostajemy równanie: x⁴ + (b₁ + a₁)x³ + (b₂ + a₂ + a₁b₁)x² + + (a₁b₂ + a₂b₁)x + a₂b₂ = x⁴ + x² + 1 Otrzymujemy układ równań: (1) b₁ + a₁ = 0 (2) b₂ + a₂ + a₁b₁ = 1 (3) a₁b₂ + a₂b₁ = 0 (4) a₂b₂ = 1 (1) a₁ = −b₁

	1
(4) a2 =
	b2

	1
(2) b2 +		− b12 = 1
	b2

	b1
(3) −b1b2 +		= 0
	b2

Rozwiązanie: b₁ = 1, b₂ = 1, a₁ = −1, a₂ = 1 Czyli mamy rozkład x⁴ + x² + 1 = (x² − x + 1)(x² + x + 1)

magda: jacek pomozesz w moim zadaniu?

Klara: Witam Mozna prościej: x⁴ +x² +1= x⁴ +2x² +1 − x² =( x² +1)² − x² teraz z róznicy kwadratów a² − b² = ( a−b)(a+b) więc mamy ( x² +1 − x)( x² +1 +x) = = ( x² −x +1)(x² +x +1)

Klara: i jak Jacek Karaśkiewicz? .... łatwiej tak ?

Jacek Karaśkiewicz: Jasne, że łatwiej Niestety, moja głowa w takich godzinach nie pracuje już najsprawniej i wszystkie rozwiązania, które zamieszczam po 21 są dosyć "brutalne".

Klara:

Andzia: x2+x+1