:) POKÓJ: Vax potrafisz rozwiązywać równania diofantyczne ?

Vax: Pokaż przykład, zobaczymy

POKÓJ: 79x + 24y = 5

POKÓJ: oczywiście jedno rozwiązanie obliczyłem korzystając z algorytmu Euklidesa : x₁ = 35 y₁ = −115 tylko teraz nie wiem jak sprawdzić czy są jakieś inne oraz jak ewentualnie je wyznaczyć

Vax: Ma zachodzić w szczególności: 79x + 24y = 5 (mod 24) ⇔ 7x = 5 (mod 24) /*7 ⇔ x = 11 (mod 24) ⇔ x = 24k+11 , k ∊ ℤ, wstawiamy do wyjściowego równania: 79(24k+11)+24y = 5 ⇔ y = −79k−36 Czyli rozwiązaniem równania 79x + 24y = 5 są wszystkie pary (a,b) = (24k+11 , −79k−36) dla dowolnego k ∊ ℤ

POKÓJ: Dziękuję bardzo Mogę się jeszcze spytać czy zawsze będą rozwiązania takiego równania i czy zawsze będzie ich nieskończoność ?

Vax: Tak, będzie ich nieskończenie wiele ale wtedy i tylko wtedy gdy mając równanie ax + by = c zachodzi nwd(a,b) | c W przeciwnym razie dane równanie nie ma oczywiście żadnych całkowitych rozwiązań.

:

POKÓJ: hmm ja to robiłem algorytmem Euklidesa. Z tego co widzę to twoja metoda : ax + by = c i teraz bierzemy ax + by = c (mod b) b nam sie upraszcza i później działamy już na prostym równaniu : ax = c (mod b)

Vax: Tak, rozpatrujesz dane równanie mod a lub mod b, jak wygodniej

POKÓJ: Już wszystko jasne Dziękuję bardzo

AS: Pozwolicie,że dorzucę swoje trzy grosze. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 15*x + 26*y = 358 Wyznaczamy niewiadomą przy której jest mniejszy współczynnik

	358 − 26*y		13 − 11*y
x =		= 23 − y +		= 23 − y + t1
	15		15

	13 − 11*y
gdzie t1 =
	15

Stąd otrzymujemy równanie 11*y + 15*t1 = 13 Wyznaczamy y

	13 − 15*t1		2 − 4*t1
y =		= 1 − t1 +		= 1 − t1 + t2
	11		11

	2 − 4*t1
gdzie t2 =
	11

Stąd 4*t1 + 11*t2 = 2

	2 − 11*t2		2 − 3*t2
t1 =		= −2*t2 + +		= −2*t2 + t3
	4		4

	2 − 3*t2
gdzie t3 =
	4

czyli 3*t2 + 4*t3 = 2

	2 − 4*t3		2 − t3
Wyznaczamy t2 =		= −t3 +		= −t3 + t
	3		3

	2 − t3
gdzie t =
	3

stąd kolejno t3 = 2 − 3*t , t2 = −2 + 3*t + t = −2 + 4*t , t1 = −2*(−2 + 4*t) + 2 − 3*t = 6 − 11*t Ostatecznie y = 1 − t1 + t2 = 15*t − 7 x = 23 − y + t1 = −26*t + 36 , t ∊ C