Całki niewłaściwe Godzio: Całki niewłaściwe Zad. 1 Zbadać zbieżność całki:

	dx
∫01
	ex − cosx

Zad. 2 Zbadać zbieżność warunkową i bezwzględną całek: a) ∫₀^π/2(tgx)^adx

	1   sin   x
b) ∫10		dx
	ln(1 + x)

Mila: Godzio, odpadam, może Basia, czy ZKS są na bieżąco.

Godzio: Ok, ale dzięki za chęci

Bezimienny: a sprawdz to http://www.etrapez.pl/blog/calki/wykorzystaj-podobienstwa-miedzy-calkami-a-szeregami/ nie wiem czy tam jest rozwiazanie problemu ale probowales takiego podejscia?

Godzio: To co jest w linku wszystko znam, jednak akurat z tymi przykładami nie mogę sobie poradzić.

Mila: Znalazłam: cosx≠0 ∫tg⁶xdx=1/5tg⁵x−1/3tg³x+tgx−x+C zastosowano wzory redukcyjne: U₆=1/5tg⁵x−U₄ U₄=1/3tg³x−U₂ U₂=∫tg²xdx=tgx−x

Ajtek: Godzio, te zadanka nie są dla mnie, prawda?

Mila: Ajtek sprawdziłeś co napisałam w tym zadaniu z parametrem ?. ( podstępne)

Godzio: Ajtek teraz nic ode mnie, dopiero w czerwcu, mam taką rzeźnie, że nie mam czasu nic robić prócz nauki

Godzio: Mila nie za bardzo wiem czy to mi coś pomaga

Ajtek: Mila, pamietam zadanko i rozmyślam nad tym. Grześ pokazał "haczyk". Skoncentrowałem sie na f. kwadratowej, natomiast na wyjściu mam f. logarytmiczną. Teraz to muszę powiązać ze sobą. W tamtym wątku zadałem pytanie: "Czy to będa przedziały?".

Ajtek: Godzio, jak skończy sie EURO 2012, to będziemy mogli pobawić się matematyką.

Basia: pomyślę Godziu, ale dopiero jutro; teraz znikam, bo jutro muszę wstać o zupełnie nienormalnej porze

Godzio: Ok Ja też będę lecieć, jutro na 7:30 ...

Basia: ad.1 nie jestem do końca pewna, ale może tak w przedziale <0;1>

	ex		ex		ex
cosx ≤ 1 i 1≤		⇒ ex − cosx ≥ ex−1 ≥ ex −		=
	2		2		2

	dx		2
0∫1		≤ 0∫1		dx
	ex−cox		ex

a zbieżność tej całki udowodnisz bez problemu ad.3 czy coś wiadomo a tym a ? bo dla a>0 to dość proste ₀∫^π/2 (tgx)^a dx ≥ _π/4∫^π/2 (tgx)^a dx ≥ _π/4∫^π/2 tgx dx rozbieżność tej ostatniej udowodnisz znowu bez problemu dla a=0 oczywiste natomiast dla a<0 ₀∫^π/2 (tgx)^a dx = ₀∫^π/2 (ctgx)^|a| dx ≥ ₀∫^π/4 (ctgx)^|a| dx ≥ ₀∫^π/4 (ctgx) dx i jak poprzednio ad.2 jeszcze myślę

b.: ad 1. nie jest dobrze, bo e^x/2 nie jest ≥1 w przedziale (0,1). widać, że ew. problem ze zbieżnością jest w zerze, mamy z rozwinięcia Maclaurina: e^x = 1 + x + O(x²), cosx = 1 + O(x²), skąd e^x−cosx = x + O(x²), czyli całka rozbieżna ad 3 (Basi) albo 2a (Godzia). pierwsza część rozwiązania działa tylko dla a>=1, podobnie ostatnia część tylko dla a<=−1 z grubsza biorąc rozwiązanie polega na obserwacji, że tg x jest rzędu x w zerze, oraz rzędu

	1
		w π/2−
	π2−x

ad 2b. mianownik jest rzędu x, a licznik oscyluje w otoczeniu 0; całka nie jest zbieżna bezwzględnie (oczywiście trzeba to uzasadnić, ale to już zostawiam dla Godzia) zbieżność: zob. kryterium Dirichleta

Basia: ad.3 dlaczego? przeszłam w 3a na przedział <π/4; π/2) w tym przedziale tgx ≥ 1 ⇒ (tgx)^a ≥ tgx dla dowolnego a>0 a w 3b na przedział <0;π/4> w tym przedziale ctgx ≥ 1 ⇒ (ctgx)^|a| ≥ ctgx dla dowolnego a<0

Basia: o Boże ! ślepota oczywiście tylko dla a≥1 i a≤−1

Godzio: 2. b) w ogóle nie rozumiem, resztę rozumie. Wiem, że mianownik jest rzędu x, ale dlaczego

	1
mianownik oscyluje w otoczeniu 0 ? Co do k. Dirichleta, ∫0Asin		dx jest ograniczona,
	x

	1
ale czy limx→0		= 0 ? A to chyba warunek konieczny
	ln(x + 1)

b.:

	1
co rozumiesz przez: całka ∫0A sin		dx jest ograniczona? (bo raczej jest nieograniczona
	x

) ale przede wszystkim jak wygląda kryterium Dirichleta? pozwala dostać zbieżność jakiego typu całek? czy można je tu bezpośrednio zastosować?

Godzio:

	1
Chodziło mi |∫0Asin		| ≤ 2, aj, ja chyba pomyliłem, bo to :
	x

	1
limx→∞		= 0, a nie x → 0, teraz chyba się zgadza,
	ln(x + 1)

Co do pytania, nie za bardzo wiem co odpowiedzieć "typ całek" ?

Godzio:

	1
Chyba już wiem o co chodzi, trzeba zastosować podstawienie t =		?
	x

b.: zgadza się, ta całka o takie właśnie podstawienie się prosi kryterium Dirichleta dotyczy zbieżności całek w ∞ (całki typu ∫_A^∞ bez osobliwości w żadnym punkcie x₀ ∊ [A,∞) ). Tutaj mamy całkę na (0,1), więc jak się chce użyć kr. D., to trzeba coś podstawić.

Godzio: Ok, dzięki