Funkcje wielu zmiennych - dziedzina, izokwanty, gradeinty, punkty stacjonarne studentka : Witam proszę o nakierowanie mnie co do obliczania poszczególnych podpunktów bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać... Z góry dziękuję. Dana jest funkcja

	x3 + 9y2 −8x2
f(x,y) =
	y2

oraz dwa punkty S = (0,8) i Q=(8,9) . Dla danej funkcji wyznacz i narysuj: a) Dziedzinę funkcji (tu wiem że y² > 0, ale co z licznikiem? ) b) Izokwanty przechodzące przez dane punkty c) Gradienty w danych punktach d) Czy i który z tych punktów jest punktem stacjonarnym funkcji. Uzasadnij odpowiedź.

Basia: ad.(a) a co ma licznik do dziedziny ? nic D = {(x,y): x∊R ∧ y∊R\{0}} ad.b podaj definicję izokwanty, bo nie jestem pewna czy dobrze pamiętam poza tym patrz tutaj: http://www.matematyka.pl/252696.htm ad.(c) i (d) policz pochodne cząstkowe po x i po y podaj wyniki; sprawdzę i podpowiem co dalej

studentka : Izokwantą (warstwicą) funkcji f(x,y) odpowiadająca wartości c ∊ R nazywamy zbiór : I_f (c) = { (x,y) ∊ D_f | f(x,y) = c}. Izokwanty są podzbiorami dziedziny funkcji.(wykład) I jeszcze na jakiejś stronce napisali że izokwanta to linia stałej wartości funkcji. Policzyłam pochodne cząstkowe : f'_x = 2x² − 16x

	18y
f'y =		= 9
	2y

studentka : Jednak źle policzyłam... Poprawka: najpierw policzyłąm pochodną według wzoru :

	f(x)		(x3+9y2−8x2)'(y2) − (y2)'(x3+9y2−8x2)
(		' =		=
	f(y)		y4

3x2y2 + 18 y3 − 16xy2 − 2x3y − 18y3− 18x2y
y4

f'_x = 6xy² − 16y² − 6x²y − 36 xy

	6x2y + 54 y2 − 32 xy − 2x3 − 36y2 − 18x2
f'y=
	4y3

Basia: sprawdzę to potem, teraz muszę kończyć; może ewentualnie ktoś inny

studentka : Ok, dziękuję za pomoc.

Krzysiek:

	f(x)
co to jest: (		)'− pochodna po czym?
	f(y)

f'_x źle (jak różniczkujemy po 'x' to 'y' to stała więc możesz wyciągnąć przed nawias) f'_y =(x³ −x²)(1/y² )' +(9)'

studentka : Na jakimś forum przeczytałam że trzeba obliczyć najpierw pochodną ze wzoru bo w liczniku i mianowniku są niewiadome 'x' i 'y' ...ale to pewnie jakaś głupota... To wszystko źle?...

	(x3−x2)
Czyli f'y =
	2y

Krzysiek:

	x2
no tak liczysz gdy masz np:		i liczysz pochodną po 'x' wtedy korzystasz z tego
	2x+5

wzoru f'_y napisałem wyżej jak powinno być (rozbijasz na dwa ułamki i stałe czyli 'x' wyciągasz przed nawias) f'_x = 1/y² ((x³ )' +0 +(−8x² )' )

studentka :

	x2(x−1)
f'y =
	2y

	3x2−16x
f'x =
	y2

Tak? Dzięki Krzysiek za pomoc

Krzysiek: f'_x dobrze f'_y źle... (1/y² )' =−2/y³

studentka : Ok . Wiesz może jak policzyć dalej to zadanie ?

Krzysiek:

	df		df
gradient to wektor [		,		]
	dx		dy

i te pochodne masz już policzone więc wystarczy wstawić za x,y współrzędne punktów d) jeżeli w tym punkcie pochodne pierwszego rzędu się zerują to jest to punkt stacjonarny

Adrian:

	x2+4xy
A jezli mam podobne zadanie tylko funkcja sie zmienia to wynikami będą f(x)=
	y

ad a) D={(x,y): x∊R ⋀y∊R\{0} ad b) punkty to S(0,2) i Q(2,4) tego nie wiem a resztę zaraz dośle