Relacja równoważności
Lavanos: Pokaż, że relacja jest relacją równoważności na zbiorze X
X=ℕ2; (x,y)≈(a,b) ⇔ x+y=a+b
Wiem, że muszę zbadać zwrotność, przechodniość, i symetrię, znam też definicję, ale nie wiem
jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.
20 maj 18:55
Godzio:
(x,y)R(a,b) ⇔ x + y = a + b
Zwrotność:
(x,y)R(x,y) ⇔ x + y = x + y −− oczywiste
Symetria:
(x,y)R(a,b) ⇔ x + y = a + b ⇒ a + b = x + y ⇒⇔ (a,b)R(x,y)
Przechodniość:
(x,y)R(a,b) i (a,b)R(c,d) ⇒ x + y = a + b i a + b = c + d ⇒ x + y = c + d ⇒ (x,y)R(c,d) 4
Zatem relacja jest relacją równoważności
20 maj 19:22
Lavanos: Hah, no tak, nad zapisaniem zwrotności się zastanawiam, a to jest oczywiste
Tutaj inny przykład, proszę o sprawdzenie:
X=R; x≈y ⇔ (∃t≠0)(tx=y)
No i zrobiłem to tak:
Zwrotność:
xRx ⇔ tx=x
dla dowolnego x t=1, a więc zachodzi.
Symetria
xRy ⇔ tx=y ⇒ y=tx ⇔ yRx
Przechodniości w sumie nie umiem zapisać. Jak to zrobić poprawnie?
20 maj 20:29
Godzio:
xRy i yRz ⇒ xRz
tx = y i t * y = z ⇒ t2 * x = z zatem ∃p, że p * x = z ⇒ xRz
20 maj 20:33
b.: > Symetria
> xRy ⇔ tx=y ⇒ y=tx ⇔ yRx
powinno być y=t−1x
> tx = y i t * y = z
raczej t2y=z, to nie będzie na ogół to samo ,,t''
20 maj 21:53
Lavanos: Ok, drugą poprawkę rozumiem, nie mogę jednak pojąć tego:
>powinno być y=t−1x
Może ktoś wyjaśnić, czemu tak powinno być?
20 maj 22:39
Godzio:
| | 1 | |
tx = y /:t ⇒ y = |
| x ⇒ y = t−1x, a to zachodzi bo t ≠ 0 |
| | t | |
20 maj 22:47
Lavanos: Ok, rozumiem!
Mam tu jeszcze jeden przykład, który zrobiłem.
m≈n ⇔(∃k∊ℤ)(n
3−m
3=5k)
Zwrotność:
nRn ⇔ n
3−n
3=5k, k=0 a więc zachodzi.
Przechodniość:
nRm i mRo ⇔ n
3−m
3=5k
1 i m
3−o
3=5k
2 ⇒ m
3=n
3−5k
1 i o
3=m
3−5k
2 ⇒
o
3=n
3−5(k
1+k
2), a więc (∃p∊ℤ)(n
3−o
3=5p) ⇒ nRo
Symetria:
nRm ⇔ n
3−m
3=5k ⇒ 0=5k+m
3−n
3 ⇒ −k*5=m
3−n
3 ⇒ mRn, bo −k∊ℤ
20 maj 23:17
Godzio:
nRm ⇔ 5 | (n3 − m3)
Zwrotność:
nRn 5 | (n3 − n3) ⇒ 5 | 0 −− zachodzi
Przechodniość:
nRm i mRo ⇔ 5 | (n3 − m3) i 5 | (m3 − o3) ⇒
5 | [(n3 − m3) + (m3 − o3)] ⇒ 5 | (n3 − o3) ⇒ nRo
Symetria
nRm ⇔ 5 | (n3 − m3) ⇒ 5 | −(m3 − n3) ⇒ mRn to jest raczej oczywiste, komentarz:
Jeżeli a | b to a | −b
20 maj 23:24
Lavanos: Dzięki, zauważyłem to i w sumie nie wiem czemu ciągnąłem dalej równanie... Pytanie tylko czy
sposób, w który ja to rozwiązałem jest błędny?
20 maj 23:35
Godzio: Twój też jest ok
21 maj 11:26