równania wielomoianowe Caroline: x³+x−2=0

POKÓJ: z twierdzenia Bezout'a odczytujemy pierwiastek : x = 1 bo w(1) = 1 + 1 − 2 = 0 x³ + x − 2 = x³ − x² + x² − x + 2x − 2 = x²(x−1) + x(x−1) +2(x−1) = (x² + x + 2)(x−1) i to by było na tyle gdyż Δ w pierwszym nawiasie jest < 0 Masz coś trudniejszego ?

Mila: Pokój, czy to ICSP?

POKÓJ:

Mila: Pokój, zobacz na wskazówkę u Kylo odnośnie dowodu. Może masz bardziej nowoczesną metodę dowodu, że ⁿ√n→1 dla n→∞.To daj swoją wskazówkę.(patrz mój dzisiejszy wpis)

Caroline: tak mam duzo trudnijeszych.. ale tego nie bardzo rozumie

POKÓJ: to musisz albo : 1^o nauczyć się grupować wielomianu jeśli znasz ich jeden pierwiastek 2^o potrafić dzielić wielomiany.

Caroline: dzielic mniej wiecej umie a to grupowanie na czym polega?

POKÓJ: skoro umiesz dzielić to proponuję abyś nauczyła się schematu Hornera. Zawsze robi się tak samo więc nie bedzie problemu.

Caroline: tak znam go, ale w jaki sposob mam go zastosowac w tym zad? tzn co przez co mam podzielic?

POKÓJ: a co jest pierwiastkiem ?

POKÓJ: https://matematykaszkolna.pl/strona/1401.html

Caroline: 1?

POKÓJ: "z twierdzenia Bezout'a odczytujemy pierwiastek : x = 1 bo" tak 1. Więc dzielisz przez (x−1)

Caroline: zrobilam tak i wyszło mi x²−1..

POKÓJ: a zapisałaś tak : x³ + 0x² + x − 2 i teraz masz w tabelce : 1 0 1 − 2

Caroline: no tak tak zrobilam

Caroline: 1 0 1 −2 1 1 2 0 x²+1−2=x²−1

Caroline: kurde jeszcze raz 1 0 1 −2 1 1 2 0

POKÓJ: 1 1 2 0 ostatnie to jest reszta. Do pozostałych doklejasz potęgi zaczynając od potęgi 0 przy przedostatnim wyrazie : i otrzymujesz : x² + x + 2 czyli to co miało wyjść.

Caroline: ahaa juz wiem, bo myslalam ze obnizajac o stopien w dol to mam wziac od tego rownania: x²+x−2. ok i co dalej?

POKÓJ: i teraz możesz zapisać swój wielomian w postaci : (x−1)(x² + x + 2) i sprawdzić czy wyrażenie w nawiasie się rozkłada czy nie. Jak się rozkłada to dalej stosujesz taki sam schemat : 1. Szukasz pierwiastka twierdzeniem Bezout'a lub twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych (to stosujesz gdy przy najwyższej potędze stoi inna liczba niż 1.) 2. Stosujesz schemat Hornera aby podzielić ten wielomian 3. Sprawdzasz czy można dalej rozłożyć.

Caroline: można x wyłaczyć przed nawias..

POKÓJ: niby skąd ?

Caroline: no dobra nie wiem, a nie mozna to jakos inaczej obliczyc np z delty?

Maslanek: Jest taka jedna bycza delta Także nie

Caroline: (x−1) (x²+x+2) x=1 Δ= 1−4*1*2= −7

Eta: x³−x+2x−2=0 x(x²−1) +2(x−1)=0 x(x−1)(x+1)+2(x−1)=0 (x−1)(x²+x+2)=0 dla x²+x+2=0, Δ<0 odp: x=1

POKÓJ: Równania kwadratowe kompletne liczymy z delty Witaj Eta

Caroline: Eta skąd wzięłaś to +2x na początku?

Eta: Witam ICSP

Eta: −x+2x= +x

Caroline: no właśnie bo teraz popatrzyłam na tył książki na odp i tam jest wskazówka: x=−x+2x.. i wynik x=1

Eta:

Caroline: czyli to co ja zrobiłam to też jest dobrze?

Eta: Tak, też dobrze

Caroline: ok to teraz dam coś trudniejszego x⁶−26x³−27=0

Caroline: ale jeszcze narazie tego nie róbcie, najpierw chce się upewnić, czy to mam dobrze: x⁶−64=0 (x⁶−64)(x⁶+64) x⁶=64 x⁶=−64 sprz. x=2 w odpowiedziach jest −2,2..

Eta: 1 sposób: x⁶−26x³−27= (x³−27)(x³+1) (x³−27)(x³+1)=0⇒ x³=27 v x³=−1 x=3 v x=−1

Pestek: czemu x⁶ = −64 sprzeczne przecież (−2)⁶ = 64

Pestek: to drugie spreczne , chodzi mi że pierwsze ma jeszcze4 jedno rozw.

Eta: x⁶=64 ⇒ x=2 v x= −2 bo 2⁶=64 i (−2)⁶= 64

Caroline: bo jest potęga parzysta i nie może być wynik ujemny? jakie jeszcze jedno? rozpisz..

Pestek: no −2 a nie tylko 2 Eta Ci rozpisała

Caroline: Eta a jest jakiś inny sposób bo ten co napisałaś nie rozumie..

Caroline: no ok.. juz wiem

Pestek: zawsze możesz za podstawić t = x³; i wtedy masz: t²−26t−27=0

Pestek: t1=−1 => x³=−1 => x=−1; t2=27 => x³=27 => x=3

Caroline: nie ograne tego przykładu. może coś takiego teraz: 4x³−3x−1=0

Eta: podstaw −3x= −4x+x 4x³−4x+x−1=0 4x(x²−1) +(x−1)=0 4x(x−1)(x+1)+(x−1)=0 (x−1)(4x²+4x+1)=0 (x−1)(2x+1)²=0 dokończ......

Caroline: 1, + 0,5 i −0,5

Eta: Niee są tylko takie x=1 v 2x+1=0 ⇒ x= −0,5 −−− pierwiastek dwukrotny

Caroline: ok

Caroline: jeśli Ci się chce to jeszcze to.. (4x−3)(x²−4)=(3x²−12)(3+2x)

Eta: (4x−3)(x²−4) −3(x²−4)(2x+3)=0 (x²−4)(4x−3−6x−9)=0 dokończ.........

Caroline: x=2 lub (−2x−12) =0 (−2x−12)(−2x+12)=0 −2x=12 x=6 x=−6

Maslanek: lub x=−2

Eta: Dokładnie, trzy rozwiązania

Maslanek:

Caroline: w odp jest: −6,−2,2..

Eta: Ciekawe? dla kogo ten piękny kwiatek?

Eta: (x−2)(x+2)(−2x−12)=0 x=2 v x= −2 v −2x−12=0 ⇒ x= −6

Caroline: aa ok dzieki

Maslanek: Oczywiście, że dla Ciebie. Jakoś się za jabłko muszę odwdzięczyć

Eta: @Maślanek Dzięki