całka Kwachu: ∫x cosx dx = x sinx− ∫sinx dx=x sinx+ cosx dx + c najprostszy przykład jaki może być a nie wiem czy poprawnie

Basia: poprawnie tylko bez dx xsinx + cosx + C

Kwachu: ten dx to już z rozpędu zapisałem

Kwachu: ∫ln(x+1)dx=|t=x+1|=∫lnt dt= tlnt − t + c= (x+1)ln(x+1) − x −1 +c ? |dt=dx| Mam nadzieję, że nie będziecie źli, jak powpisuję pare rozwiązań. Z matmy nie jestem największym orłem

Basia: nie będziemy źli; wręcz przeciwnie nam się podoba jak ktoś sam próbuje pracować a całka dobrze policzona

Krzysiek: jak chcesz Sobie sprawdzić wynik to: a) obliczasz pochodną b)wpisujesz do programu który to wylicza np. http://www.wolframalpha.com/ (jest tam rozpisane krok po kroku jak program wylicza całkę, jednak nie zawsze taką metodą jak Ty liczysz )

Kwachu: to skoro dobrze, to nie jestem szczęśliwy w zadaniu mam podane policzyć przez części a od razu widać, że przez podstawienie jest dużo łatwiej. generalnie wynik wykorzystując metodę przez podstawienie bedzie inny jak bym robił to przez części?

Basia: wynik musi być taki sam; 2+2=4 i nie może =5 niezależnie od tego jak liczysz

Kwachu: dobra, mam rozwiązania list z matmy i ktoś to policzył tak, że "xln(x+1)− x + ln(x+1) +c" jednak nie to samo

Krzysiek: wynik nie musi być taki sam (wynik może być różny o stałą, czasem w podstawieniach trygonometrycznych są różne funkcje ) poza tym tak naprawdę w tym przykładzie to podstawienie nic nam nie daje i przecież ∫lntdt liczysz przez części

Kwachu: więc jak się różni o stałą, to nie ważne czy zapisze 1+c czy samo c? bo w rozwiązaniach które mam na dysku, to właśnie brakuje mi tej jedynki.

Basia: musi Krzysiu (z dokładnością do stałej ); może być tylko zapisany w innej postaci, ale one muszą być równoważne

Kwachu: i jeszcze jedno odnośnie tego pkt. Jak mam podane, żebym liczył przez części a policzę podstawiając, wtedy myślicie że nie będę miał zaliczone?

Basia: 1+ stała = stała

Kwachu: Basia, więc mogę pominąć to −1+c zapisując samo c? wydaje mi się że nie bardzo.

Basia: dokładniej: 1+stała = inna stała (ale jednak stała) 1+c = C 2+c = C₁ itd.

Krzysiek: ja bym zostawił Twoje rozwiązanie jak jest, bo jakbyś tak usunął tą jedynkę (bez powodu) to wtedy może być potraktowane jako błąd. Basia, tak jak napisałem wynik różny o stałą, jednak jak wiadomo licząc różnymi metodami rozwiązanie nie zawsze ma tą samą postać(pisałem to żeby się np. Kwachu nie dziwił jak będzie miał 'inny' wynik )

Kwachu: właśnie już się zdziwiłem, ale Basia wytłumaczyła z tym c1 i c2 ale, czy jak musze policzyć przez części, a podstawieniem jest łatwiej, to egzaminator mi takie coś zaliczy czy nie? w końcu 2+2=4, niezależnie od tego jaką metodą

Basia: na dobrą sprawę możesz, ale bardziej elegancko będzie tak: = (x+1)*ln(x+1) − (x+1)+c = (x+1)*[ ln(x+1) −1 ] + C ale wynik (x+1)*ln(x+1) − x + C też jest poprawny policz z tego pochodną przekonasz się, że to jest wyrażenie podcałkowe

Basia: przecież liczyłeś też przez części (a że dodatkowo przez podstawienie to już chyba nie ma znaczenia) no bo skąd Ci się wzięło t*lnt − t jak nie z liczenia przez części ?

Kwachu: ze wzoru na ∫lnx dx= xlnx −x +c

Kwachu: a mam takie coś, jestem niemal pewien że coś pochrzaniłem:

	sin2 x		−cos2 x		cos2 x
∫xtg2 x dx= ∫x*		dx= x*		+		+ C
	cos2 x		sin2 x		sin2 x

Basia: no tak, ale egzaminatorowi chodziło o to, żebyś z tego wzoru nie korzystał bo to chyba nie jest całka podstawowa udowodnij sobie licząc przez części, że ∫lnx dx = xlnx − x +C potem tak samo (bez podstawiania) policz ∫ln(x+1)dx

Basia: ad. ∫x*tg²x dx a skąd Ci się to wzięło ?

Kwachu: z listy zadań

Basia: wynik skąd Ci się wziął ?

Kwachu: tg² x zamieniłem na sinus/cosinus (bo to jest to sam?) Jak we wzorze ogólnym mam że ∫f'(x) * g(x)= f(x) * g(x)∫f(x)* g'(x) to za f(x) podstawiłem własnie przekształconego tg a za g(x) wziąłem x.

Basia: 1. (cos²x)' = 2cosx*(−sinx) = −2sinx*cosx a nie sin²x 2. zgubiłeś x

Kwachu: to jeżeli (sinx)'=cos x, myślałem że analogicznie cos² x= (sin² x)'

Basia:

	x*sin2x		1
x*tg2x =		= x*sin2x*
	cos2x		cos2x

gdybyś chciał liczyć przez części musiałbyś wziąć f = x*sin²x f' = sin²x + x*2sinx*cosx

	1
g' =		g = tgx
	cos2x

J = x*sinx*tgx − ∫tgx(sin²x+2x*sinx*cosx) dx =

	sin3x
x*sinx*tgx − ∫		dx − 2∫x*sinx*cosx dx
	cosx

nie wiem czy to jest najprostsza metoda musisz przez części ?

Basia: y= sin²x to funkcja złożona u = sinx y=u² stąd y'= 2u*u' = 2sinx*cosx ale teraz muszę już kończyć napisz czy musisz to liczyć przez części

Kwachu: w tym przykładzie właśnie muszę przez części. no nic, po twoim rozwiązaniu widzę że tego nie dam rady się nauczyć, tylko na pamięć. Jeżeli chodzi o ten przykład, to teraz liczę że go nie będzie nigdzie więcej

Kwachu: dzięki wielkie za pomoc

Kwachu: mam nadzieję że jeszcze jesteś bp trafiłem na prosty przykład a kurcze nie wiem czy go dobrze rozumie. ∫e^x sinx dx => to ma jakiś wynik? jak dla mnie , to to bedzie się ciągnęło w nieskończoność.

Kwachu: −e^x cosx +∫e^x cosxdx= −e^x cosx +e^x sinx −∫e^x sinx dx= itd.

Krzysiek: i teraz −∫e^x sinx przenosisz na lewą stronę, dzielisz przez 2 i już policzyłeś całkę

Basia: no to jeszcze podpowiem

	sin3x		sin2x*sinx		(1−cos2x)*sinx
∫		dx = ∫		dx = ∫		dx
	cosx		cosx		cosx

i przez podstawienie t = cosx 2sinx*cosx = sin2x i dalej przez części

Kwachu: kurcze, trudniejsze rzeczy potrafię z całek a liczenie przez częsci sprawia mi problem... Krzysiek nie mam najmniejszego pojęcia, dlaczego dzielić przez 2

Krzysiek: masz cos takiego: ∫e^x sinx dx =coś −∫e^x sinx dx stąd jak przeniesiesz −∫e^x sinx dx na lewą stronę zrobi się 2* ∫e^x sinx dx

Kwachu:

	lnx		1		−1		1
∫		dx=∫lnx* x−2dx= −x−1lnx− ∫		*		dx= −x−1lnx+ ∫		=
	x2		x		x		x2

−x⁻¹lnx− x⁻¹ +c ?

Basia: to można znacznie prościej

	sin2x
J=∫x*tg2x dx = ∫x*		dx =
	cos2x

	1−cos2x		1
∫x*		dx = ∫x*[		− 1 ] dx =
	cos2x		cos2x

	1
∫x*		dx − ∫x dx
	cos2x

pierwsza przez części f = x f' = 1

	1
g'=		g=tgx
	cos2x

J = x*tgx − ∫tgx dx − ¹₂x² =

	sinx
x*tgx − 12x2 − ∫		dx =
	cosx

	−sinx
x*tgx − 12x2 + ∫		dx
	cosx

ostatnia przez podstawienie t = cosx dt = −sinx dx

	dt
J = x*tgx − 12x2 + ∫		=
	t

x*tgx − ¹₂x² + ln|t| + C = x*tgx − ¹₂x² + ln|cosx| + C

Kwachu: Basia, jak dla mnie to w ogóle nie wygląda na prościej ale na pewno sobie przepiszę i przeanalizuje. Dzięki ci bardzo za ten przykład

Basia:

	lnx
∫		dx jest dobrze
	x2

Kwachu: super jestem jak na razie spokojny i jadę dalej z całkami teraz mam przez podstawienie. tam nie powinienem mieć większych problemów

Kwachu:

	2x
f(x)=arcsin
	1+x2

f'(x)=? Jak będzie wyglądała od tego pochodna?

Krzysiek:

	2x
podstawienie: u=
	1+x2

	1
(arcsinu)' =		*u'
	√1−u2

Kwachu:

	2x2 + 2 − 4x2
a pochodna z u to		? dawno nie miałem pochodnych i nie pamiętam
	(1+x2)2

dokładnie

Krzysiek: tak

Kwachu: nie wiesz może, czy gdzieś tutaj na stronie są ekstrema?

Kwachu: znalzałem

Krzysiek: https://matematykaszkolna.pl/strona/387.html

Kwachu: f(x,y)=xln(x² + y²) f'(x)=yln(x² + y²) + 2x f'(y)=xln(x² + y²) + 2y?

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_p.C5.82aszczyzny

Kwachu: mam takie coś, że mam w ekstremie 2 pkt. (1,4) i (1,−4) Po ułożeniu macierzy A=|12x + 10 2y| |2y 2x+2| d1=12x+10 d2=(2x+2)(12x+10)−4y² w obu pkt wyszło mi, że macierz jest dodatnio określona, zatem w obu pkt. (1,4) i (1,−4) może być minimum?

Krzysiek: tylko, że źle wyliczyłeś pochodne pierwszego i drugiego rzędu... po drugie, mając macierz w miejsce x,y wstawiasz współrzędne tego punktu

Kwachu: to jest zupełnie inny przykład. pochodne 1 i 2 rzedu mam dobrze policzone. wiem że się wstawia wartości x i y, i w obu pkt wyszedł mi ten sam wynik więc chodzi mi o to, czy może być 2 razy minimum?

Krzysiek: tak

Kwachu:

	x2		1
∫		dx=∫		=LN|X+1|+C ?
	x3 +1		x+1

Krzysiek:

	1
źle.. skąd w ogóle wziąłeś: ∫
	x+1

tą całkę policz przez podstawienie: t=x³ +1

Kwachu:

	1
W takim razie		ln|x3 + 1|+c dzieki
	3