Zadanie dla maturzystów. Bogdan: Zadanie dla maturzystów. Rozwiązać równanie: 1. sin²⁰⁰⁹x + cos²⁰⁰⁹x = 1 2. sin²⁰⁰⁹x − cos²⁰⁰⁹x = 1

radek: hehe pewnie latwe ale z trygonometria u mnie ciezko

radek: narysowalem wykres funkcji i stwierdzam iz to zadanie chyba nie bedzie taki latwe

Mickej : oooo ktoś nas sprawdza

b.: Fajne zadania

radek: w tym pierwszym wydaje mi sie ze bedzie x=^π₂ + 2kπ bo wtedy sin²009^π₂=1 a cos²009^π₂ = 0 a wiec 1 + 0 = 1 nie wiem czy czasem w ^3π₂ nie bedzie tez rozwiazania a nie nie bedzie bo potega jest niepazrzysta

radek: dobrze kombinuje?

b.: a czy to wszystkie rozwiązania?

Mickej : podstawiać to nawet ja umiem ale ja chyba obliczeniami zrobbie zraraz

radek: chyba tak

Bogdan: To jest zadanie maturalne, więc proszę przedstawić pełne rozwiązanie, z odpowiednim opisem tak, jakby był to arkusz maturalny. Ułamki proszę pisać z użyciem dużej litery U.

Bogdan: Należy również podać wszystkie rozwiązania.

Mickej : nie wiem ja jak już mi się wydaje że mam to znowu się matle i tak w kółko zakładam że jest jakiś myk i prędzej czy później Bogdan nas uświadomi

Mickej : cicho chyba mam

Eta:

Mickej : szybciej mi bańka wyparuje niz mi coś z tego wyjdzie

Bogdan: Jeśli nikt nie poda rozwiązania, to podam je jutro o godzinie 22, a także podam wtedy kolejne zadanie maturalne. Zapraszam również osoby pomagające w rozwiązywaniu zadań do przedstawiania swoich rozwiązań. Mam nadzieję, że taki trening na krótko przed maturą przyda się nie tylko maturzystom.

Mickej : już dawno takiego irytującego zadania nie widziałem

radek: http://www.vpx.pl/zdjecie,wykresik1.html tu narysowalem taki troche amatorski wykres jk to bedzie wygladac, rozwiazaniem tego zadania sa x zaznaczone czarnymi punktami czyli tam gdzie sin²009(x) = 1 i cos²009(x)=0 lub sin²009(x)=0 i cos²009(x)=1 innch przypadkow nie bedzie gdyz te wartosci jak widac z wykresu sa zbyt male aby daly w sumie wartosc 1.

	π
czyli x= 2kπ lub x =		+ 2kπ
	2

radek: w drugim przypadku bedzie podobnie ale sin²009(x) musi byc rowny 1 , zas cos²009(x) musi byc rowny 0. na odwrot nie moze byc tym raze bo wartosc wyszlaby −1

	π
a zatem x=		+ 2kπ
	2

Eta: A ile jest ? 0²⁰⁰⁹ − ( −1)²⁰⁰⁹ =.....

Eta: Mickej ....... nie mogę uwierzyć ?, że nie znasz rozwiązań tych równań

Mickej : ale ja się nie będę bawił w podstawianie bo mnie takie rozwiązanie nie satysfakcjonuje

@Basia: Mnie też nie. Bo zadam to samo pytanie co b.. Skąd wiadomo, że to jedyne rozwiązanie ?

@Basia: Mnie też nie. Bo zadam to samo pytanie co b.. Skąd wiadomo, że to jedyne rozwiązanie ?

@Basia: Dla ścisłości: wiem jak to uzasadnić, ale, moim zdaniem, rozwiązanie powinno uzasadnienie zawierać.

radek: Eta: A ile jest ? 0²009 − ( −1)²009 =..... fakt nie zauwazylem tego

@Basia: a (−1)²⁰⁰⁹ − 0²⁰⁰⁹ =

radek: no to bedzie na 100% −1 wiec to akurat niepasuje

tim: a 0 − (−1) = 1 co nie?

radek: nom to sie zgadza

@Basia: Zgadza się !

@Basia: Ale jak uzasadnisz, że to jedyne rozwiązanie ?

radek: nie wiem i tu mnie macie

@Basia: sin²⁰⁰⁹x = 1 + cos²⁰⁰⁹x w przedziale od <0,2π> jest to możliwe dla x=^π₂ i dla x=π stąd x = ^π₂ + 2kπ lub x = π+2kπ = (2k+1)π sądzę, że wykresy y=sin²⁰⁰⁹x i y=1+cos²⁰⁰⁹x potrafisz sobie naszkicować

radek: nom ok ok ale nadal nie wieadomo czy to jedyne rozwiazania no nie?

radek: chociaz teraz ten wykres jest o wiele bardziej czytelniejszy. czyli na podstawie tego wykresu mozna wnioskowac iz nie ma wiecej rozwiazan?

Mickej : na podstawie wykresu hmmm no ciekawe ale ja próbowałem to kwadrat ować pierwiastkować parametry podstawiać i już parę razy mi nawet sensowne rzeczy wychodziły ale nie potrafiłem dokończyć

@Basia: W pierwszym też są dwa rozwiązania W przedziale <0,2π> x=^π₂ lub x=0 lub x=2π czyli: x = ^π₂+2kπ x = 0+2kπ x = 2π+2kπ = (k+1)*2π czyli (2) i (3) sprowadza się do x=2kπ ostatecznie: x = ^π₂+2kπ lub x = 2kπ

@Basia: Rachunkowo to na poziomie liceum chyba niewykonalne. I nie tylko (chyba) na poziomie liceum.

radek: nom ok to fajne zadanie , ale mam nadzieje ze takiego na maturze nie dzadza

Mickej : to nie chce nic mówić ale mam przed sobą zapisane 8 stron A4 to może na początku mówcie że to nie realne zaoszczędzę papier

@Basia: Mickej nie twierdzę, że na pewno nie można. Możliwe, że jakoś tam np. przez rozwinięcie w szereg by się dało, ale uczciwie mówiąc nie chce mi się nawet próbować.

Mickej : szereg to też już nie liceum

dpelczar: Powiedzcie mi jak do tego doszliscie... ale po koleji... bo nie moge sie połapać co dlaczego... a jestem maturzystą... ale trygonometria nie jest mocna u mnie...

dpelczar: np. zapisując rownanie sin²⁰⁰⁹ + cos²⁰⁰⁹ = 1 od czego zacząć i jak wykres namalować...

dpelczar: oczywiscie sin i cos od iksa...

radek: no a jak masz sin²(x) to wiesz jak wykres wyglada − to sin²009(x) bedzie podobnie ale bedzie sie zwezac tak jak ja to narysowalem pare postow wczesniej bo wartosci beda z kazda potega malec

radek: z tym ze tu wartosci moga byc rowniez ujemne bo potega nieparzysta

Mickej : Podziel sobie to równanie na 2 wykresy tak sin²⁰⁰⁹=1−cos²⁰⁰⁹ i teraz rysujesz osobno wykres y=sin²⁰⁰⁹ i osobno y=1−cos²⁰⁰⁹ a te wykresy chyba wiesz jak narysować bo oczywiste punktu jak 1 czy 0 się nie zmieniają przy sin oczywiście bo przy cos to trzeba podnieść do góry o 1 i przekształcić w −cos

radek: to jezeli chodzi o wykres

Jacek Karaśkiewicz: 1. (1) sin²⁰⁰⁹x + cos²⁰⁰⁹x = 1 (2) sin²⁰⁰⁹x + cos²⁰⁰⁹x = sin²x + cos²x (3) sin²⁰⁰⁹x − sin²x + cos²⁰⁰⁹x − cos²x = 0 (4) sin²x(sin²⁰⁰⁷x − 1) + cos²x(cos²⁰⁰⁷x − 1) = 0 Załóżmy, że sinx jest różne od 0, ±1, czyli sinx ∈ (−1, 1) \ {0}. Jeśliby tak było, to również cosx ∈ (−1, 1) \ {0}. Wtedy sin²x > 0, sin²⁰⁰⁷x − 1 < 0, czyli sin²x(sin²⁰⁰⁷x − 1) < 0, oraz cos²x > 0, cos²⁰⁰⁷x − 1 < 0, czyli cos²x(cos²⁰⁰⁷x − 1) < 0. W takim razie było by sin²x(sin²⁰⁰⁷x − 1) + cos²x(cos²⁰⁰⁷x − 1) < 0, więc nie zachodziłaby równość. Musi być więc sinx ∈ {−1, 0, 1}. Jeśli sinx = 0, to wstawiając do (1) mamy cos²⁰⁰⁹x = 1. Musiało by więc być cosx = 1. Jest to spełnione dla x = 2kπ, k ∈ C. Jeśli sinx = 1, to wstawiając do (1) mamy cos²⁰⁰⁹x = 0, co daje nam cosx = 0. Jest to spełnione dla x = ^π₂ + 2kπ, k ∈ C. Jeśli sinx = −1, to wstawiając do (1) mamy cos²⁰⁰⁹x = 2. Tu nie ma rozwiązań, więc zostaje jedynie: x₁ = 2kπ, x₂ = ^π₂ + 2kπ, k ∈ C 2. Bardzo podobnie. Dochodzimy do postaci: (1) sin²x(sin²⁰⁰⁷x − 1) − cos²x(cos²⁰⁰⁷x + 1) = 0 Zakładamy, że sinx jest różne od 0, ±1, czyli sinx ∈ (−1, 1) \ {0}. Wtedy sin²x(sin²⁰⁰⁷x − 1) < 0, oraz cos²x > 0 i cos²⁰⁰⁷x + 1 > 0, więc − cos²x(cos²⁰⁰⁷x + 1) < 0. Dostajemy nierówność, sin²x(sin²⁰⁰⁷x − 1) − cos²x(cos²⁰⁰⁷x + 1) < 0, a więc niemożliwe jest, aby sinx było różne od 0 lub ±1. Musi być sinx ∈ {−1, 0, 1}. Wtedy: Jeśli sinx = 0 to mamy z (1) cos²⁰⁰⁹x = −1. Aby tak było, to musi zachodzić cosx = −1. Jest to możliwe dla x = π + 2kπ, k ∈ C. Jeśli sinx = 1 to mamy z (1) cos²⁰⁰⁹x = 0. Co daje nam cosx = 0. Spełnione dla x = ^π₂ + 2kπ, k ∈ C. Jeśli sinx = −1 to mamy z (1) cos²⁰⁰⁹x = −2. Nie ma tu rozwiązać, a więc zostaje nam: x₁ = π + 2kπ, x₂ = ^π₂ + 2kπ, k ∈ C

Mickej : doszedłem do tej postaci ale nie wpadłem na to żeby robić tak jak ty a dlaczego wpisujesz się Imieniem i nazwiskiem jesteś jakimś sławnym polakiem czy reklamujesz coś?

Jacek Karaśkiewicz: Nic nie reklamuje, ani nie jestem sławny Po prostu tak się podpisuje. W zasadzie może starczyły by inicjały, ale to chyba nie ma wielkiego znaczenia (tzn. podpis).

Michał Szczotka:): to też se dam tak

Bogdan: Dzień dobry. Cieszę się, że zadanie wzbudziło zainteresowanie. Zadanie jest wykonalne na poziomie szkoły średniej. Należy ono do modnej w ostatnim czasie rodziny zadań ze względu na mechanizm rozwiązywania. Pojawiają się takie zadania w różnych treningowych arkuszach maturalnych, m. in. jest takie w arkuszu maturalnym zamieszczonym w Gazecie Wyborczej z 20 kwietnia tego roku. Arkusz ten jest dostępny na stronie www.gazeta.pl w zakładce Edukacja. http://zone-2.cdn.gazeta.pl/bi.gazeta.pl/im/1/6533/m6533111.pdf Zadania takie już kilkakrotnie tutaj rozwiązywaliśmy. Są to zadania typu: |wyrażenie A| + |wyrażenie B| = 0; (wyrażenie A)ⁿ + (wyrażenie B)^m = 0 dla m, n parzystych; (wyrażenie A) + (wyrażenie B) = 0 dla (wyrażenie A) ≥ 0 i (wyrażenie B) ≥ 0. Zamieściłem zadania z tej grupy zadań, bo podobne mogą pojawić się podczas tegorocznej matury. Rozwiązanie zadania 1: sin²⁰⁰⁹x + cos²⁰⁰⁹x = 1 sin²⁰⁰⁹x + cos²⁰⁰⁹x = sin²x + cos²x sin²x + cos²x − sin²⁰⁰⁹x − cos²⁰⁰⁹x = 0 sin²x(1 − sin²⁰⁰⁷x) + cos²x(1 − cos²⁰⁰⁷x) = 0 Zauważamy, że: sin²x ≥ 0, cos²x ≥ 0, 1 − sin²⁰⁰⁷x ≥ 0, 1 − cos²⁰⁰⁷x ≥ 0. Wobec tego równość sin²⁰⁰⁹x + cos²⁰⁰⁹x = 1 zachodzi tylko wtedy, gdy: sinx = 0 i cosx = 0 (ten układ równań nie ma rozwiązania); lub sinx = 1 i cosx = 1 (ten układ równań nie ma rozwiązania); lub

	π
sinx = 1 i cosx = 0 => x =		+ k*2π, k € C
	2

lub sinx = 0 i cosx = 1 => x = k*2π

	π
Odp.: x =		+ k*2π lub x = k*2π dla k € C.
	2

W podobny sposób rozwiązuje się drugie zadanie. W zadaniach egzaminacyjnych, np. w zestawach maturalnych pojawiają się od czasu do czasu zadania z liczbą bieżącego roku, tak też jest w tym przypadku. W nowym wątku zamieszczam kolejne zadanie, w którym występuje liczba 2009.