Granica ciągu Ź: Obliczyć granicę:

	n(2 + (−1)n)n
Un =
	4n

dla n → ∞

Krzysiek: skorzystaj z tw. o trzech ciągach

Ź: Czy tak będzie poprawnie? W zależności od wykładnika potęgi przy jedynce mamy:

	n
An =
	4n

	n * 3n
Bn =
	4n

Z twierdzenia o trzech ciągach: A_n ≤ U_n ≤ B_n limA_n = limB_n = 0 więc limU_n = 0

Krzysiek: dobrze

Basia: tak; chociaż wystarczy napisać, że 0 ≤ U_n ≤ B_n

kylo1303: A mam takie pytanie: Na jakiej zasadzie dobierac te 2 dodatkowe ciagi? Wybieranie dowolne (tak aby zaszly nierownosci) chyba odpada? W tym wypadku rozumiem co i jak, gdzies tam jeszcze spotkalem sie z czyms takim: a<b √aⁿ+bⁿ √bⁿ≤√aⁿ+bⁿ≤√2bⁿ To tez rozumiem, tylko ze nie wiem jeszcze na jakiej zasadzie mam dobierac, na tak zwanego "czuja" ?

Basia: właściwie "na czuja" chociaż pewne reguły są, ale tak płynne, że trudno je opisać jak zwykle praktyka czyni mistrza; o kilku sposobach przeczytasz, potem zaczniesz kombinować sam, a potem to już prawie rutyna

Krzysiek: w granicach z reguły patrzy się tylko na 'wyrazy' które najszybciej zmierzają do ∞ więc skoro a<b (i niech a>1 ) to b zmierza szybciej do ∞ zatem od bⁿ będzie zależeć granica ps a czy te pierwiastki nie są n−tego stopnia?

Basia: prawdopodobnie tak, inaczej nic by to nie dawało

kylo1303: Tak, sa n−tego stopnia Dziekuje bardzo Pozostaje cwiczyc.

Ź: Witam ponownie, Chciałbym jeszcze zapytać się o pewną rzecz. Gdybyśmy mieli szereg o wyrazie ogólnym jak wyraz ogólny ciągu czyli

	n(2 + (−1)n)n
Un =
	4n

to jak najszybciej zbadać jego zbieżność?

Krzysiek: kryterium Cauchyego (z lim sup)

Ź: Hmm, czy tak wyglądałoby poprawnie:

	n * 3n
Bn =
	4n

z poprzedniego zadania wiemy, że 0 ≤ U_n ≤ B_n Zbieżność szeregu B_n zbadamy z kryt. Cauchy'ego

	3		3
limBn = n√n * (		)n =		< 1
	4		4

Szereg B_n jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego szereg U_n również jest zbieżny.

Basia: jak najbardziej poprawnie

Ź: Witam ponownie: Czy ktoś z forumowiczów potrafi dowieść taką nierówność: arctgx ≤ x Byłbym wdzięczny za przedstawienie dowodu (albo ewentualne podanie linka, gdzie znajdę ów)

Krzysiek: możesz np. skorzystać z pochodnych f(x)=arctgx −x f(0)=0 f'(x) ≤0 dla x∊R (czyli także dla x≥0) czyli funkcja jest malejąca na całym przedziale więc arctgx−x≤0 (dla x≥0 )

Maslanek: Krzysiek, sama w sobie monotoniczność nie wskazywałaby na prawdziwość tej nierówności, prawda? Ale z tego, że f'(x)=0 ⇔ x=0 oraz f(0)=0 mamy, że przyjmuje wartości ≤0?

Krzysiek: z tego, że f(0)=0 i że jest malejąca wynika ta nierówność (dla x≥0)

Maslanek: Zaćmienie umysłu Pora się ulotnić, bo zniszczę renomę