Oblicz całki na kole Lavanos: Oblicz całki ∫∫_K sin(x²+y²)dxdy oraz ∫∫_K sin(√x²+y²)dxdy na kole K={(x,y): x²+y²≤π²} Proszę o pomoc, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

Basia: przejdź na współrzędne biegunowe x = r*cosφ y = r*sinφ r∊<0;π> φ∊<0;2π>

Lavanos: Dzięki za wskazówkę. Liczę tak: ∫∫K sin(x²+y²)dxdy = ∫^π₀ ∫^2π₀ rsin(r²cos²φ+r²sin²φ)dφdr= ∫^π₀ ∫^2π₀ rsin(r²)dφdr = ∫^π₀ rsinr²dr * ∫^2π₀dφ Czy to jest dobrze? Co dalej z tym zrobić? (te ułamki po znaku całki to oczywiście jej ograniczenie, nie wiem jak to tutaj zapisać )

Trivial: O ile nie ma błędu, to dalej podstawienie r² = u.

Basia: x²+y² = r²*cos²φ+r²*sin²φ = r²(cos²φ+sin²φ) = r²*1 = r² i masz ₀∫^2π [ ₀∫^π r² dr ] dφ

Trivial: Basiu, coś oszukujesz. Tam jest sin(x²+y²). Poza tym trzeba pomnożyć jeszcze przez Jakobian.

Basia: oj oszukuję; wiesz, że tego sinusa w ogóle nie zauważyłam ? okulista się kłania...........

Trivial:

Lavanos: No, czyli do tego momentu mam dobrze, bo ja o jakobianie i sinusie nie zapomniałem Właśnie podstawiam zgodnie ze wskazówką i wszystko ładnie wychodzi, napiszę końcowy wynik Chyba, że po drodze znów utknę...

Lavanos: Hmm, wyszło mi 0.. Proszę kogoś o ewentualne sprawdzenie. Zobaczymy jak mi druga pójdzie.

Krzysiek: nie wychodzi 0, być może po zamianie zmiennych (u=r² ) nie zmieniłeś granic całkowania i dlatego wyszło Tobie 0?

Lavanos: No tak, oczywiście zrobiłem błąd, zaraz postaram się poprawić.

Lavanos: Jeśli dobrze myślę to granica całkowania zmienia się z ₀∫^π na ₀∫^π2, a wynik wtedy wynosi −¹₂cosπ²−1 Czy tak? Wynik drugiej całki: 2π²

Krzysiek: jak dla mnie druga dobrze a pierwsza: π−πcosπ² (z pierwszej całki zostało: 2π )

Lavanos: Ok, dziękuję za pomoc, już wiem gdzie jest błąd