asymptoty studentka: Cześć wszystkim ! Proszę o pomoc p = i₃ + 1 (lub p = 10 − i₃) q = i₄ + 1 (lub q = 10 − i₄), gdzie i₃=7, i₄ =8 Dane są funkcje : f(x) =^{pq ln x}_x oraz g(x) =^ex_px2 <−tu w mianowniku jest x do kwadratu Dla kazdej z tych funkcji: a) Sprawdz czy funkcja ma asymptoty. Jezeli tak, podaj ich równania. a) Wyznacz najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji na przedziale [1, q].

Basia: no to podstaw sobie za to p i q i rozpatruj kolejne przypadki 1. p = 8 i q=9 masz

	72lnx
f(x) =
	x

	ex
g(x) =
	8x2

i którą funkcję teraz masz badać ? f(x), g(x) czy obie ?

studentka: Obie : )

Basia: pokażę Ci ten jeden przypadek p=8, q=9 resztę zrób sama wg wzoru

	72lnx
f(x) =
	x

x>0

	72lnx		72lnx
limx→0+		= limx→0+		=de l.H
	x		1   x

	72   x
limx→0+		= limx→0+ [−72x] = 0
	1   −   x2

studentka: dziękuję bardzo

Basia: cd. nie ma asymptoty pionowej

	72lnx		72   x
limx→+∞		= de l.H limx→+∞		=
	x		1

	72
limx→+∞		= 0
	0

jest asymptota pozioma y=0

	f(x)		72lnx
limx→+∞		= limx→+∞		= de l.H
	x		x2

	72   x		36
limx→+∞		= limx→+∞		=0
	2x		x2

nie ma asymptot ukośnych

Basia: cd.

	72lnx
f(x) =
	x

	72   *x − 1*72lnx x
f'(x) =		=
	x2

72(1−lnx)
x2

f'(x) = 0 ⇔ 1−lnx = 0 ⇔ lnx = 1 ⇔ x=e znak pochodnej zależy tylko od licznika, bo mianownik jest stale dodatni f'(x) >0 ⇔ 1−lnx>0 ⇔ lnx < 1 ⇔ x<e f'(x) <0 ⇔ 1−lnx<0 ⇔ lnx > 1 ⇔ x>e czyli x∊(0;e) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f. rośnie x∊(e;+∞) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f. maleje czyli dla x=e f.osiąga maksimum przedział [1;q] = [1;9]

	72lne		72
e ∊[1;9] ⇒ wartość największa w tym przedziale to f(e) =		=
	e		e

tak samo musisz powalczyć z g(x) wydaje mi się, że do policzenia asymptot nie trzeba rozważać różnych przypadków, bo one nie będą zależały od p i q (ale musiałbym to sprawdzić) i maksima też chyba można policzyć łącznie (zakładając, że p,q>0, a można bo z treści wynika, że takie będą)

Basia: liczę dla dowolnego p>0

	ex
g(x) =
	px2

x∊R\{0}

	ex
limx→0±		=
	px2

	1
e0*limx→0±		= 1*(+∞) = +∞
	px2

mamy asymptotę pionową x=0

	g(x)		ex
limx→ −∞		= limx→ −∞		=
	x		px3

	1
limx→ −∞ex*limx→ −∞		= 0*0 = 0
	px3

mamy asymptotę poziomą lewostronną y=0

	g(x)		ex
limx→ +∞		= limx→ +∞		= de l.H
	x		px3

	ex		ex
limx→ +∞		= de l.H limx→ +∞		= de l.H
	3px2		6px

	ex
limx→ +∞		= +∞
	6p

nie ma asymptoty poziomej prawostronnej nie ma asymptot ukośnych

	ex*px2 − 2px*ex		ex
g'(x) =		=		*(px2−2px) =
	p2x4		p2x4

ex		ex		x−2
	*(x2−2x) =		*x(x−2) = ex*
px4		px4		px3

g'(x) = 0 ⇔ x−2=0 ⇔ x=2 x∊(−∞;0) ⇒ g'(x) >0 ⇒ f.rośnie x∊(0,2) ⇒ g'(x)<0 ⇒ f.maleje x∊(2;+∞) ⇒ g'(x)>0 ⇒ f.rośnie stąd w p−cie x_min=2 funkcja osiąga minimum dla p=8 lub 3 i q=9 lub 2 mamy ( a innych nie ma w tym zadaniu) w przedziale [1;q]

	e1		e
f(1) =		=
	p*12		p

	e2		e2
f(2) =		=
	p22		4p

	eq
f(q) =
	pq2

	e9
dla q=9 najmniejsza f(2); największa f(9)=
	81p

dla q=2 najmniejsza f(2); największa f(1)

studentka: dziękuję, jesteś cudowna !