Lords of the ring siemanko: a) Czy zbiór R² z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych tworzy pierścień? Czy jest on ciałem? b) Czy suma elementów nieodwracalnych pierścienia może być elementem odwracalnym? Czy suma dzielników zera może być elementem nieodwracalnym? c) Udowodnij, że jeśli dla pewnej liczby naturalnej n element x pierścienia P spełnia warunek xⁿ = 0, to 1 − x i 1 + x są elementami odwracalnymi tego pierścienia. powiem tak ...z pierwszym niby wiem o co kaman ale nie wiem jak to zapisać by sie profesor nie uczepił a w drugim oprócz rozwiązania prosiłbym o wyjasnienie czym jest element nieodwracalny pierscienia. Czy to takie np a, że nie ma a⁻¹...z góry dziex

siemanko: pomoze ktos?

Basia: ad.a pokazać porządnie, że spełnione są wszystkie warunki nie bardzo rozumiem o co Ci chodzi ad.b tak; nieodwracalny to taki dla którego nie istnieje a⁻¹ i oczywiście tutaj suma nieodwracalnych może być odwracalna <2,0> nie jest odwracalny bo nie istnieje takie <a,b> żeby <2,0>*<a,b> = <1,1> tak samo <0,2> jest nieodwracalny natomiast <2,0>+<0,2> = <2,2> jest odwracalny (odwrotny to <¹₂,u{1}[2}>) w pierścieniu (R,+,*,0) 2 i −2 są dzielnikami 0; 2+(−2)=0 i jest nieodwracalna ad.c czy to dotyczy tego konkretnego pierścienia ? bo zapis mi jakoś nie pasuje w tym pierścieniu elementy są przecież parami <a,b> więc jak rozumieć zapis xⁿ i 1−x i 1+x ? chyba raczej dowolnego ?

siemanko: raczej...te zadania są na bank dobrze

Vax: c) Z tego, że xⁿ = 0 dla pewnego n wynika, że x w rozkładzie na czynniki pierwsze zawiera wszystkie czynniki pierwsze będące dzielnikami zera danego pierścienia, więc jeżeli istniałoby p będące dzielnikiem zera oraz p | 1 ± x ⇒ p | 1, tak więc 1 ± x nie zawiera żadnego czynnika będącego dzielnikiem zera danego pierścienia, więc jest w nim odwracalne, cnd.