Objętość bryły ograniczonej Atola: Oblicz objętość bryły ograniczonej stożkiem 2z=√x²+y² i kulą x²+y²+z²=1. Bardzo proszę o pomoc, wystarczy jeśli podacie granice całkowania i po jakich współrzędnych całkujemy, bo za nic nie wiem jak to zrobić!

Krzysiek: dla z=0 tą bryłę ogranicza stożek, następnie od pewnego 'z' tą bryłę ogranicza kula więc trzeba rozwiązać układ równań: 2z=√x² +² x² +y² +z² =1

	√5
i z tego wychodzi, że: z=
	5

	4
i dla tego 'z' rzut na płaszczyznę OXY to równanie okręgu: x2 +y2 =
	5

chyba najlepiej przejść na współrzędne biegunowe by wyliczyć tą całkę i obliczyć tylko jeden obszar: dla x≥0 iy≥0 i potem pomnożyć przez 4

	√5
a dla: z∊[		, 1] (to nie są granice całkowania, tylko zakres 'z' ) rzut na płaszczyznę
	5

OXY jest taki sam, tylko zmienia się granice całkowania dla 'z' (górny obszar ograniczający tą bryłę to kula

Atola: Czyli dla pierwszej bryły ograniczonej stozkiem współrzędne biegunowe będą miały granice całkowania:

	2√5
r∊<0,		>
	5

φ∊<0,2π>

	r		2√5
z∊<		,		>
	2		5

? Sprawdź jeśli mozesz czy dobrze to rozumiem.

Krzysiek: z∊[r/2 , √5/5 ]

Atola: czyli r i φ dobrze zapisałam?Spawdź jeszcze jakbyyś mógł czy dobrze zapisałam współrzędne do obliczenia bryłu ograniczonej kulą:

	2√5
r∊<		,1>
	5

φ<o,2π>

	√5
z∊<		, √1−r2>
	5

Krzysiek: r jest takie samo, można to w sumie dać pod jedną całkę potrójną z∊[r/2 , √1−r² ] r,φ takie same

Atola: ok teraz rozumiem, dzięki wielkiemógłbyś jeszcze pomóc mi w podobnym zadaniu: Oblicz objętość "soczewki" ograniczonej kulami x²+y²+z²=1 i x²+y²+(z−1)²=1Robię to ze współrzędnych sferycznych, są tam tak jakby dwie części ograniczone kulami i dla tej dolnej części zapisałam, że: θ∊<0,π/2> φ∊<0,2π> r∊<0,2sinθ> czy to jest dobrze, bo nie mogę połapać sie w tych granicach

Krzysiek: tylko nie wiem, jak wstawiałaś za x=.. , y=... z=.. tylko czy nie można z biegunowymi? wtedy dla 'z' granice wynosiłyby: [1−√1−r² , √1−r²] i z jakobianem łatwe całki by wyszło do obliczenia

Atola: wstawiłam: x=rcosθcosφ y=rcosθsinφ z=rsinθ właśnie zaczęłam biegunowymi i nie byłam pewna czy dobrze

Krzysiek: tylko to nie będzie dobrze, bo na początku te współrzędne wstawiasz do równania tej drugiej sfery a potem promień zmienia się wzdłóż tej pierwszej sfery o środku w początku układzie współrzędnym czyli: r∊[2sinθ,1] i bryła jest nad płaszczyzną czyli: θ∊[−π/2,π/2]

Atola: mógłbyś mi jakoś prosto wytłumaczyć jak określa się to θ? Bo nie do końca rozumiem między cyzm a czym jest ten kąt

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_sferycznych tam jest wszystko opisane, tylko popatrzyłem na 'matematyczne', a Ty podałaś geograficzne θ∊[0,π] mam nadzieję, że teraz jest dobrze...

Atola: dzięki wielkie za pomoc, chyba mniej więcej zaczaiłam

Atola: mógłbyś może wyliczyć ten pzrykład obojętnie z jakich współrzędnych, bo ja obliczyłam jednym i drugim i mi inne wyniki wyszły

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_%280%29%5E%282pi%29+%28integral_%280%29%5E%28sqrt%283%29%2F2%29+%28r%282sqrt%281-r%5E2+%29-1%29%29+dr+%29d%28phi%29 tylko tym drugim sposobem, to nie wiem czy nie trzeba byłoby rozbić na dwie całki, w każdym razie chyba nic nowego nie wymyślę.