Szereg Taylora Analiza matematyczna:

	x + 1
Funkcję f(x) =		rozwinąć w szereg Taylora o środku w punkcie x0 = 3.
	x − 1

Wyznaczyć przedział zbieżności otrzymanego szeregu. Obliczyć wartość dziewiątej pochodnej funkcji f w punkcie 3. Podobno można zrobić to zadanie na dwa sposoby: 1) Liczyć te wszystkie pochodne (wolny sposób) 2) Coś zauważyć i szybko to zrobić (szybki sposób) Chciałbym to zadanie zrobić jak najszybciej i najłatwiej ale właśnie nie wiem co tu można zauważyć i jak szybko to zrobić. Może ktoś zna się na tym i potrafiłby powiedzieć. Proszę

Godzio: A ta 2 jest pewna ? To znaczy, bez liczenia pochodnych rozwinąć to w szereg ?

Godzio:

	x + 1		2		1
f(x) =		= 1 +		= 1 + 2 *
	x − 1		x − 1		x − 1

	1
f'(x) = − 2 *
	(x − 1)2

	2
f''(x) = 2 *
	(x − 1)3

	6
f'''(x) = − 2 *
	(x − 1)4

... f⁽ⁿ⁾(x) = 2 * (−1)ⁿU{n!}{(x − 1)^{n + 1}

	n!		(−1)nn!
f(n)(3) = 2 * (−1)n		=
	2n + 1		2n

	−9!
f(9)(3) =
	29

	(−1)nn!
f(x) = 1 + ∑
	(x − 1)n

Jak wyznaczałeś przedział zbieżności ? Przez promień czy inaczej ?

Analiza matematyczna: O tym drugim sposobie powiedział wykładowca jako podpowiedz na kolokwium (dlatego nie wytłumaczył o co chodzi) i niby ma to być proste ale jak znając wykładowców to pewnie dla nich wszystko jest łatwe Tak przedział zbieżności przez promień.

Analiza matematyczna:

	(−1)nn!
Ok f(9)(3) dobrze ale czy ten szereg f(x) = 1 + ∑		nie powinien byc taki
	(x−1)n

	(−1)n
f(x) = 1 + ∑		(x−3)n Nie wiem pogubiłem się już
	2n

Krzysiek:

x+1		2		1		3−x
	=1+		=1+		=1+ ∑n=0∞ (		)n =1+ ∑n=0∞
x−1		x−1		1−(3−x)/2		2

	(−1)n
		(x−3)n
	2n

	3−x
dla |		|<1 (korzystam z szeregu geometrycznego )
	2

Analiza matematyczna: Mógłbyś wytłumaczyć Nie wiem skąd się biorą niektóre przejscia:

	2		1
1 +		= 1 +
	x−1		1 − (3−x)/2

lub

	3−x		(−1)n
1 + ∑(		)n = 1 + ∑		(x−3)n
	2		2n

Krzysiek: pierwsze przejście:

	1
chodzi o to, żeby skorzystać z szeregu geometrycznego czyli:		=∑xn
	1−x

zatem chcemy przekształcić tak mianownik byśmy mieli 'coś'−(x−3) (x−3) ponieważ mamy w punkcie 3 rozwinąć drugie przejście

	3−x		(3−x)n		1
(		)n =		=(−1)n (x−3)n * (		)n
	2		2n		2

Analiza matematyczna: Drugie przejście zrozumiałem dzięki ale z pierwszym nadal mam problem x => (x−3)

2		2		−2
	=		=
x−1		(x−3) − 1		1 − (x − 3)

nie wiem skąd 2 znikneło z licznika i dzieli (3−x) chyba nie przekształcam tego w dobra stronę

Krzysiek: drugi ułamek przecież mianowniki się nie zgadzają... x−1= (x−3) +2 =2−(3−x)

Analiza matematyczna: aaaa to działa w taki sposób ja myślałem że tego (x−3) nie ruszam i działam na tym jakby na normalnym x hmm nie wiem czy zrozumiesz o co mi chodzi tak jakbym podstawiał za x −> (x−3)

Analiza matematyczna: Dzięki teraz wychodzi

Analiza matematyczna:

	x+2		(−1)n
Czyli f(x) =		jako szereg taylora to: f(x) = 1 + 2∑		(x−4)n
	x−2		2n

x+2		4		2		(4−x)n
	= 1 +		= 1 +		= 1 + 2∑		=
x−2		x−2		1 − (4−x)/2		2n

	(−1)n
= 1 + 2∑		(x−4)n
	2n

Analiza matematyczna: Oczywiście w punkcie x₀ = 4

Krzysiek: dobrze