Wykaż Henio: Wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczba 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 5

f: chyba trochę na około − ale wychodzi: 3⁴ⁿ⁺¹ = 3*81ⁿ (zatem, ostatnia cyfra tej liczby to 3), aby suma 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ⁺¹ była podzielna przez 5, to ostatnia cyfra 2⁴ⁿ⁺¹ musi być 2 (bo 7 nie będzie) czyli trzeba teraz pokazać, że liczba 2⁴ⁿ⁺¹ jest postaci (10*k+2), czyli, że 2⁴ⁿ⁺¹ − 2 jest podzielna przez 10, =2(2⁴ⁿ−1), zatem 2⁴ⁿ−1 ma być podzielna przez 5 i to możemy zrobić indukcyjnie: 2⁴ⁿ−1 n = 1 16−1 = 15 , dobrze zał. 5 | 2⁴ⁿ−1 ⇔ 2⁴ⁿ−1 = 5m teza: 5 | 2⁴⁽ⁿ⁺¹⁾−1 dowód: 2⁴⁽ⁿ⁺¹⁾−1 = 2⁽4n+5)−1= 2⁴ 2⁴ⁿ⁺¹ − 1 = 2⁴( 2⁴ⁿ − 1 ) + 2⁴ − 1 = 2⁴(2⁴ⁿ−1) + 15 = 5( 2⁴m + 3)

f: jakieś brednie napisałem w dowodzie, jeszcze raz: 2⁴⁽ⁿ⁺¹⁾−1 = 2⁴ⁿ⁺⁴−1= 2⁴ 2⁴ⁿ − 1 = 2⁴ ( 2⁴ⁿ − 1) + 2⁴ − 1 = ...

Henio: W jaki sposób zauważyłeś że ostatnia cyfra drugiego wyrażenia to jest 3

f: zrobiłem to trochę intuicyjnie, jak mnożymy pisemnie: 81 * 81 −−−−− ....1 ....1 * 81 −−−−−−− .......1 itd., ostatnia cyfra zaszwe będzie 1, po przemnożeniu przez 3 , będzie 3 aby było formalnie to też trzeba to uzasadnić, uzasadnijmy, że 81ⁿ − 1 jest podzielne przez 10 dla 1 − ok teza: 81ⁿ − 1 = 10m zał: ... dowód: 81⁽n+1) −1 = 81( 81ⁿ −1 ) + 80 = 81(10m)+80

Mila: 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ⁺¹= =2*16ⁿ+3*81ⁿ=.............2+.....3= ... 5 cyfra jedności 5 zatem liczba podzielna przez 5 16ⁿ=.......6 cyfra jedności 6 81ⁿ=........1 cyfra jedności 1