Dowody Henio: Chciałby ktoś kilka zadań na dowodzenie?

Vax: Tak

Henio: Nie orientuje się dokładnie jaki to poziom ale proszę: 1.Udowodnij, że kwadrat dowolnej liczby nieparzystej zmniejszonej o 1 jest podzielny przez 8. 2.Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie. 3.Wykaż, że jeżeli a, b, c ∊ R to a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca 4. Wykaż, że liczba √2(√2+√3−√2−√3)−√6(√2−√3+√2+√3) jest liczbą całkowitą. 5.Dane są zbiory: A = { x ∊ R : |x − 5| = 5 − x } B = { x ∊ R : |x − a| ≤ 1 } . Wyznacz taką liczbę a , aby zbiór A n B był jednoelementowy. 6.W trójkącie ABC dane są boki o długości a i b. Znajdź długość boku c wiedząc, że suma wysokości poprowadzonych do boków długości a i b jest równa trzeciej wysokości. 7.Wykaż, że jeżeli a, b, x > 0 i ab = 1, to (x + a)(x + b) ≥ (x + 1)² . 8.W czworokącie wypukłym ABCD mamy AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Wykaż, że jeśli S jest polem czworokąta, to 2S ≤ ab + cd . 9. Wykaż, że jeśli |x|<1 i |y|<1 to |x²−y²|<1 10. Wykaż, że pole trójkąta o długościach boków a, b nie przekracza 1/2ab 11.Uzasadnij, że czworokąt, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się dwusiecznych kątów równoległoboku jest prostokątem. 12.Podaj dwie liczby niewymierne, których suma i iloczyn są liczbami naturalnymi. 13. Trapez podzielono dwiema prostymi równoległymi do podstaw na trzy figury, a każda jest podobna do dwóch pozostałych. Dane są pola S1, S3. Znajdź pole S2. (S2 to pole środkowej figury). 14.Wykaż, że jeżeli ciąg a_n jest geometryczny o wyrazach dodatnich to: (a₁*a₂*a₃*...*a_n)²=(a₁*a_n)² 15. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n wielomian W(x)=(x−1)²ⁿ+(x−1)ⁿ−1 jest podzielny przez trójmian kwadratowy f(x)=x²−3x+2 16.Znajdź wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, które wzrastają dziewięć razy, gdy między cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności wstawimy zero. 17.Obwód trójkąta wynosi 15. Znajdź długość boków tego trójkąta wiedząc, że są one liczbami naturalnymi tworzącymi ciąg arytmetyczny.

	4
18.Wykaż, że jeżeli m > 0, to m+		≥ 3
	m2

19. Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n3 + 3 jest podzielna przez n + 3. 20.Dwa boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu r są równe 3/2r oraz r√3 Wyznacz długość trzeciego boku tego trójkąta.

rumpek: Zadanie 1 (2k + 1)² − 1 = 4k² + 4k + 1 − 1 = 4k² + 4k = 4(k² − k) = 4(k − 1)(k + 1), n(k − 1)(k + 1) 4k , gdzie k to iloczyn 2 kolejnych liczb w których na pewno jedna podzielna jest przez 2, zatem 4 * 2 = 8

rumpek: Zadanie 2 http://www.zadania.info/4330397

rumpek: Zadanie 3 a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac / * 2 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ac (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (a² − 2ac + c²) ≥ 0 (a − b)² + (b − c)² + (a − c)² ≥ 0 Przekształcałem przy pomocy równoważności i doszedłem do formy, która zawsze jest prawdziwa, zatem wyjściowa nierówność też jest prawdziwa. c.n.u.

Eta:

rumpek: Żmudna robota

Vax: W sumie można te zadania zostawić jako zestaw dla tegorocznych maturzystów

Eta: @rumpek ....... daj się wykazać Innym

Eta: zad1 Co powiesz rumpek na taki rozkład na czynniki (2k+1)²−1= (2k+1−1)(2k+1+1)= 4k*(k+1) k,k+1 −− to dwie kolejne liczby całkowite, wśród nich znajduje się liczba podzielna przez 2 zatem liczba 4*k*(k+1) jest podzielna przez 8

Henio: Mógłby ktoś zrobić dla mnie zadanie 4. Nie mam na nie pomysłu.

Vax: √4+2√3−√4−2√3−√12−6√3−√12+6√3 = √(√3+1)²−√(√3−1)²−√(3−√3)²−√(3+√3)² = √3+1−√3+1−3+√3−3−√3 = −4