Pierwiastki równania kwadratowego z modułami emagnuski: Mam takie równanie: |x²+4x−5| + |x²+4x| = 5 W przedziale x∊<−5, −4) wyszła mi tożsamość, nie wiem jak mam to rozumieć. Wiem że −5 jest na pewno pierwiastkiem, ale jeżeli jest tożsamość to niby powinienem wziąć jako rozwiązanie cały przedział, który jest nieskończony i jest to zupełnie bez sensu. Nie mam dziedziny mówiącej że x∊C, więc nie wiem na jakiej podstawie mam opuścić pośrednie wartości. A może źle coś zrobiłem?

Rafał274: Trzeba to rozwiązać: |x²+4x−5| + |x²+4x| = 5 Dziedzina równania : Zbiór liczb rzeczywistych. (Bo każdą mogę tam wstawić). |(x − 1)(x + 5)| + |x(x + 4)| = 5 |x − 1| |x + 5| + |x| |x + 4| = 5 Miejsca zerowe : x ∊ {−5, −4. 0, 1 } x∊(−∞; −5) ∧ (1 − x)(−x − 5) − x(−x − 4) = 5 ⇔ x∊(−∞; −5) ∧ x∊{−5, 1} ⇔ x ∊ ∅ x∊<−5, −4) ∧ (1 − x)(x + 5) − x(− x − 4) = 5 x∊<−5, −4) ∧ x∊ℛ ⇔ x∊<−5, −4) Tożsamość, czyli niezależnie od argumentu z przedziąłu <−5, 4) zawsze równanie będzie tożsamościowe, czyli L = P. Patrz wykres funkcji : y = |x²+4x−5| + |x²+4x| http://img824.imageshack.us/img824/6375/123xx.png

Vax: Można trochę szybciej, korzystamy z własności |a|+|b| = |a−b| ⇔ ab ≤ 0, czyli: (x²+4x−5)(x²+4x) ≤ 0 ⇔ x(x−1)(x+4)(x+5) ≤ 0 ⇔ x ∊ <−5;−4> ∪ <0;1>

emagnuski: Dzięki Wam, już "kapuję".

pigor: ... a może np. tak : niech (*) x²+4x=t , wtedy |x²2+4x−5| + |x²+4x| = 5 ⇔ |t−5|+|t|=5, skąd z interpretacji odległości na osi liczbowej , suma odległości od 0 i 5 równa się 5 ⇔ 0≤ t ≤ 5 , więc stąd i z (*) 0≤ x²+4x ≤5 /+4 ⇔ 4≤ x²+4x+4 ≤9 ⇔ 4≤ (x+2)² ≤ 9 ⇔ 2≤ |x+2| ≤ 3 ⇔ ⇔ (x+2 ≤−2 lub x+2 ≥2) i −3≤ x+2 ≤3 ⇔ (x ≤−4 lub x ≥0) i −5≤ x ≤1 ⇔ ⇔ −5≤ x ≤−4 lub 0≤ x ≤1 ⇔ x∊<−5;−4>U<0;1> . ...