Wielomian
wilczy: Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x3 − 7x2 + kx + m. Wyznacz k i m.
Jak to zrobić fachowo (żeby coś napisać na kartce)? Bo ja zrobiłem to tak w głowie i wyszło mi
ze k=16 i m=−12. Czy to jest dobrze?
2 maj 22:37
Maslanek: Wiemy, że 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem, więc dzielimy W(x)/(x2−4x+4)
W(−2) = −8 −28 −2k + m = 0 ⇒ m=2k+36.
W(3) = 0 ⇒ 27 − 63 + 3k + m = 0 ⇒ m + 3k = 36
k=0
m=36
2 maj 22:44
Maslanek: Dobra... zepsułem. Raz jeszcze..
W(2)=8−28+2k+m = 0 ⇒ 2k+m=20
W(3)=0 ⇒ m+3k=36
k=16
m=−12
2 maj 22:45
wilczy: a skąd wiesz że 3 jest jednym z pierwiastków?
2 maj 22:48
rumpek:
(x − 2)
2(x + a) = (x
2 − 4x + 4)(x + a) = x
3 − 4x
2 + 4x + ax
2 − 4ax + 4a =
= x
3 + (a − 4)x
2 + (4 − 4a)x + 4a
x
3 − 7x
2 + kx + m = x
3 + (a − 4)x
2 + (4 − 4a)x + 4a
| ⎧ | a − 4 = −7 | |
| ⎨ | 4 − 4a = k |
|
| ⎩ | 4a = m | |
2 maj 22:48
Maslanek: Liczyłem w głowie.
2 maj 22:49
wilczy: Dzięki
2 maj 22:51
Eta:
Można też tak ( z pochodnych)
W(2)=0 i W'(2)=0
2 maj 22:53
Maslanek: Lokalne maksimum?
O to chodzi?
2 maj 22:55
psik: Eta zaprezentuj nam
. Zaszpanuję na maturze jak coś
2 maj 22:55
wilczy: pochodnych nie ma już w programi liceum
2 maj 22:56
psik: wiem
Ale nie zaszkodzi wiedzieć
2 maj 22:57
Eta:
W(2)=0 ⇒ 2k+m =20
W'(x)= 3x2−14x+k
W'(2)= 12−28+k=0 ⇒ k= 16 to: m= 20−32= −12
2 maj 22:57
psik: pochodna wielomianu to 3x2 − 14x + k?
2 maj 22:57
psik: Łii i to jak prosto
2 maj 22:58
Maslanek: Co nie znaczy, że nie można ich wykorzystać.
W'(x)=3x
2−14x+k
Kiedy W'(x)=0 mamy maksimum funkcji.
Tutaj wykres odbija się od 2, więc mamy lokalne maksimum − stąd W'(2)=0.
Drugie minimum znajdować się będzie gdzieś pomiędzy 2 i 3, ale raczej nie idealnie pośrodku.
2 maj 22:59
Maslanek: Sposób fajny. Zapamietam
2 maj 22:59
Eta:
Wielka szkoda, że wyrzucili pochodne !
2 maj 22:59
Maslanek: Czemu szkoda?
2 maj 23:00
wilczy: Dobrze że każde zadanie można zrobić na kilka sposobów
2 maj 23:00
psik: 
( nie wiem czemu ludzie je sobie tu rozdają, ale jeśli to wyraz uznania to daję
)
2 maj 23:00
Eta:
Twierdzenie: jeżeli liczba jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu, to jest też pierwiastkiem
jego pochodnej,
2 maj 23:01
Eta:
Hehe
te
to ja zaczęłam rozdawać ...... i tak zostało
2 maj 23:03
psik: A jeśli jest jednokrotnym to już nie?
2 maj 23:04
psik: Aa rozumiem
2 maj 23:04
Eta:
Dokładnie
Jeżeli trzykrotnym? to.............. jak myślisz?
2 maj 23:05
psik: mm zakładam że nie
2 maj 23:07
Maslanek: A no nie.
Każdy parzysty będzie pierwiastkiem pochodnej, nie?
2 maj 23:08
Eta:
r −−− pierwiastek trzykrotny
W(r)=0 i W'(r)=0 i W"(r)=0
2 maj 23:08
Eta:
W" (x) −−− to druga pochodna W(x)
2 maj 23:09
psik: aa to tak działa xD
2 maj 23:09
psik: to dobrze wiedzieć, bo jakbym się porywał na pochodne mógłbym gafę zrobić
2 maj 23:10
Eta:
2 maj 23:11