maturalne - wyznacz wzór okręgu stycznego do prostej
prymus: Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej y = x w punkcie A = (−2 ,−2 ) , oraz
który odcina z prostej y = −x − 6 cięciwę o długości 8.
najpierw wyliczyłem punkt przecięcia się prostych
x=−x−6
2x=−6
x=−3, y=−3
M=(−3,−3)
potem zrobiłem wzór na równanie prostej równoległej do y=−x−6
k: y=−x+b
podstawiłem punkt A pod współrzędne tej prostej, by wyliczyć współczynnik b, ponieważ punkt A
należy do prostej k\
−2=−2+b
b=−4
zatem k: y=−x−4
na środku cięciwy postawiłem punkt N w miejscu przecięcia się odcinka |ON| prostopadłego do k i
przechodzącej przez punkt O. odległość |ON| = |AM|. postawiłem punkt P w miejscu przecięcia
się prostej y=−x−6 z okręgiem i poprowadziłem odcinek |OP|, który jest równy promieniowi
okręgu. Więc powstał trójkąt prostokątny NPO
Wyliczam odległość |AM|
|AM|=
√(−3−+2)2+(−3+2)2 =
√1+1 =
√2 = |ON|
| | 8 | |
Jako, że cięciwa okręgu wynosi 8, to połowa jej odległości |NP| = |
| = 4 |
| | 2 | |
zatem promień okręgu można wyliczyć z twierdzenia pitagorasa r=|OP|=
√42+√22 =
√18 =
3
√2
Teraz chciałbym wyliczyć środek okręgu O. Ma współrzędne (x,y). Jako, że leży na prostej
k:y=−x−4, to pod współrzędną y podstawiam to równanie i współrzędne O przybierają postać
(x,−x−4).
Okrąg jest styczny w punkcie A, więc |OA| = r. Zatem ze wzoru na policzenie długości między
punktami:
|OA| =
√(xO − xA)2 + (yO − yA)2
√18 =
√(x+2)2 + (−x−4 + 2)2
√18 =
√(x+2)2 + (−x − 2)2
√18 =
√(x+2)2 − (x+2)2
no i o co tutaj chodzi, bo mi się to skraca i nic nie wychodzi, a tyle się narobiłem ..
