Gustlik: Wszystko zaczyna się od reguły mnożenia − ona jest PODSTAWĄ kombinatoryki i prawdopodobieństwa.
Jak ona działa?
Np. idziemy do restauracji, w menu są 3 rodzaje zup i 4 rodzaje drugich dań, np.
zupy: pomidorowa, ogórkowa i ziemniaczana, a II dania to kotlet schabowy, mielony, pierogi i
naleśniki. Na ile sposobów można zamówić dwudaniowy obiad?
Możemy zamówić np. zupę pomidorową z kotletem schabowym, z mielonym, z pierogami i z
naleśnikami − razem 4 zestawy. Podobnie 4 zestawy mozna zamówić z zupą ogórkową i 4 zestawy z
zupa ziemniaczaną. Razem − 12 zestawów. czyli 3 zupy * 4 II dania = 12 zestawów.
Podobnie to wygląda na kostkach − rzucamy 2 razy kostką. Za pierwszym razem może być np. 1, a
za drugim − każda liczba naturalna od 1 do 6, czyli z 1 na początku jest 6 możliwych wyników.
Podobnie będzie, gdy na początku wypadnie 2, 3, 4, 5, 6. Z każdą liczbą w pierwszym rzucie
możliwych jest 6 wyników w drugim rzucie. Czyli I rzut − 6 mozliwości, II rzut − też 6
możliwości, razem daje to 6*6=36 mozliwych wyników rzutu − będą to pary np. (1, 1), (1, 2),
... aż do (6, 5).
Inny przykład to rzut kostką i monetą. Na monecie może być orzeł albo reszka, a na kostce
liczba od 1 do 6. Czyli 6 wyników z orłem i 6 wyników z reszką, 6 liczb na kostce * 2 wyniki
na monecie = 12 możliwych wyników takiego rzutu.
Permutacje − są to n−elementowe szeregi, w których elementy mogą być ustawione w różnej
kolejności.
Wyobraźmy sobie, że mamy n miejsc siedzących i n osób do umieszczenia na tych miejscach.
Pierwsza osoba może sobie wybrać n miejsc, druga − już tylko (n−1) miejsc, bo jedno jest
zajęte, trzecia − (n−2) miejsc, bo dwa już są zajęte itd..., a ostatniej zostaje tylko jedno
miejsce. Jak widać − zgodnie z reguła mnożenia daje to iloczyn n*(n−1)*(n−2)*...*1, będzie to
iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n czyli n! − czytamy to jako n−silnia.
Czyli ilość permutacji n−elementowych wyraża się wzorem:
P
n=n!
N. na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce?
P
5=5!=1*2*3*4*5=120.
Obrazowo: wyobraźmy sobie, że na półce wyznaczyliśmy 5 miejsc do postawienia tych książek jak
gdyby "miejsc siedzących". Pierwszą książkę możemy postawić na 5 miejscach, drugą już tylko na
4, bo jedno miejsce jest zajęte, 3−cią ksiażkę na 3, 4−tą na 2, a 5 na jednym miejscu, mamy
iloczyn 5*4*3*2*1=5!, stąd to n−silnia w permutacjach.
Wariacje z powtórzeniami stosujemy wtedy, gdy mamy ciąg k elementów, z których każdy element
może przyjmować n niekoniecznie różnych wyników (wartości) − ma znaczenie kolejność
losowania.
Wzór jest taki:
Wn
k=n
k
Na górze są elementy, a na dole ich wyniki (wartości) − czyli obowiązuje wzór: (ilość
wyników)(ilość elementów).
Wzór ten wziął się z reguły mnożenia:
Element 1 − n wyników, element 2 − n wyników, ... element k − n wyników, mamy więc
n*n*n*...*n=n
k, bo tych "n"−ów jest k razy mnożonych przez siebie.
Przykłady:
1) Rzut trzema kostkami − elementami są kostki (n=3), a wynikami są liczby od 1 do 6:
W63=63=216
Związek z reguła mnożenia:
Kostka K1 K2 K3
Ilość możliwych wyników 6 * 6 * 6 = 216 ← na każdej kostce jest 6 możliwych
wyników − są to liczby od 1 do 6.
2) W 10−piętrowym wieżowcu wsiada do windy 6 pasażerów. Na ile sposobów mogą wysiąść?
Elementami są pasażerowie, a wynikami są numery pięter, na których oni wysiadają.
W106=106=1 000 000
Związek z reguła mnożenia:
Pasażer P1 P2 P3 P4 P5 P6
Ilość możliwych wyników 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 1 000 000 ←
każdy pasażer może wysiąść na na 10 sposobów − czyli na każdym z 10 pięter.
3) Mamy rozmieścić 3 kule w 5 szufladach. Na ile sposobów możemy to zrobić?
W tego typu zadaniach należy założyć, że szuflady są ponumerowane. Elementami będą kule, a
wynikami − numery szuflad, w których te kule rozmieszczono.
W53=53=125
Kula K1 K2 K3
Ilość możliwych wyników 5 * 5 * 5 = 125 ← każdą kulę można umieścić na 5
sposobów − w jednej z 5 szuflad.
Nalezy zauważyć, że wyniki tego typu losowań mogą się powtarzać, np. rzucając 3 kostkami możemy
otrzymać wyniki np. (1, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), gdzie w nawiasach wyniki są odpowiednio
kolejno dla kostek o numerach (K1, K2, K3).
W przypadku pasażerów wysiadających z windy bedą to wyniki typu (1, 1, 1, 1, 1, 1) gdy wszyscy
wysiądą na 1 piętrze, albo (1, 1, 2, 2, 3, 3), gdy dwóch (P1 i P2) wysiądzie na 1 piętrze,
dwóch (P3 i P4) − na 2, a dwóch (P5 i P6) na 3 piętrze.
W przypadku rozmieszczania kul w szufladacch będa to wyniki np. (1, 1, 1) gdy wszystkie kule
trafią do szuflady nr 1, albo (1, 1, 2), gdy dwie (K1 i K2) trafią do 1 szuflady, a trzecia
(K3) do szuflady nr 2.
Z tego względu, że wyniki mogą się powtarzać, są to wariacje z powtórzeniami.
Wariacje bez powtórzeń stosujemy wtedy, gdy mamy ciąg k elementów, z których każdy element
może przyjmować n różnych wyników (wartości) − ma znaczenie kolejność losowania.
A więc wyniki w ciagu nie mogą się powtarzać.
Wyobraźmy sobie, że mamy n miejsc siedzących i n osób do umieszczenia na tych miejscach, jak w
permutacjach, ale z tej grupy wybieramy sobie k osób i sadzamy te osoby na k miejscach w
kolejności losowania. Oznaczmy sobie przez x − ilość możliwych ustawień tych k osób na k
miejscach, ponieważ osoby były losowane kolejno po jednej i w takiej kolejności sadzane, będą
to ciągi. Pozostaje natomiast (n−k) pozostałych osób, które mogą zająć pozostałe (n−k) miejsc
w dowolnej kolejności, czyli (n−k)!, bo będą to permutacje.
Z reguły mnożenia mamy więc: x*(n−k)!=n!, bo ilość ustawień tych k osób razy ilość ustawień
tych (n−k) pozostałych osób musi dac razem ilość wszystkich możliwych permutacji n osób.
x*(n−k)!=n! /:(n−k)!
stąd
| | n! | |
Vnk= |
| i mamy wzór na wariacje bez powtórzeń. |
| | (n−k)! | |
Przykład: losowanie 3 ponumerowanych od 1 do 10 kul kolejno bez zwracania:
Kulę nr 1 mogę wylosować na 10 sposobów, ale kulę nr 2 − już tylko na 9, bo jedna kula została
zabrana, kulę nr 3 − na 8 sposobów. Czyli z każdą losowaną kula ubywa nam 1 kula.
Zatem 10*9*8=720.
Będą to wariacje bez powtórzeń − wyniki kolejnych losowań nie będą mogły się powtarzać,
ponieważ kule nie wracają do urny i nie ma możliwości ponownego wylosowania kuli z tym samym
numerem.
| | 10! | | 10! | | 7!*8*9*10 | |
V103= |
| = |
| = |
| =8*9*10=720, bo 7! się skróci i pozostaje w |
| | (10−3)! | | 7! | | 7! | |
liczniku iloczyn 8*9*10. May więc ten sam wynik, co regułą mnożenia.
Przypuścmy teraz, że losujemy te k osób spośród n i pozwalamy im siadać na tych k miejscach w
dowolnej kolejności. Nietrudno zauważyć, że te osoby będą się mogły "mieszać" ze sobą na k!
sposobów, mamy więc k! takich ciągów, jak w wariacjach, czyli tych ciągów będzie k!*x. Będą to
więc zbiory, każdy zbiór będzie zawierał k elementów (w tym przypadku k osób). Nietrudno
zauważyć, że w każdym zbiorze będzie k! takich k−elementowych ciagów. No a pozostałe (n−k)
osoby sadzamy na pozostałych (n−k) miejscach podobnie jak w wariacjach.
Mamy więc:
x*k!*(n−k)!=n! /:k!(n−k)!
Stąd wzór na kombinacje − stosujemy przy losowaniu k elementów spośród n, gdy kolejnośc
losowania tych elementów nie ma znaczenia:
Przykład: Wróćmy do naszego losowania 3 ponumerowanych od 1 do 10 kul bez zwracania, ale
załóżmy, że interesują nas same numery, a nie ich kolejność. Np. założyliśmy się z kolega, że
gdy wylosujemy 1, 2 i 3 to wygrywamy, w przeciwnym razie przegrywamy. Mamy wtedy zbiór 3
liczb. Nietrudno zauważyć, że ten zbiór będzie zawierał 3! takich 3−wyrazowych ciągów, ale z
punktu widzenia zasad gry kolejność ciągów nas nie interesuje. Nas interesuje zarówno wynik
(1, 2, 3), jak i np. (2, 3, 1) itp.
Zatem takich k−elementowych zbiorów mamy:
| | | | 10! | | 7!*8*9*10 | |
C103= | = |
| = |
| =120 |
| | | 3!*7! | | 7!*1*2*3 | |
W liczniku "wyciągamy" większą silnię występującą w mianowniku, aby było mniej domnażania do
końca, czyli 7!, bo od 7 blizej jest do 10, niż od 3, a tę drugą silnię w mianowniku
rozpisujemy, 7! się skróci i w pozostałych iloczynach skracamy, co się da, wynik musi być
liczbą naturalną.
W podobny sposób działa Toto−Lotek. W LOTTO (dawny Duży Lotek) skreślamy 6 liczb z 49, możemy
| | | | 49! | |
to zrobić na C496= | = |
| =13983816 sposobów. |
| | | 6!*43! | |
Tu też są zbiory, bo wygrywamy wówczas, gdy padna skreślone przez nas numery, a ich kolejność
jest dla nas nieistotna.
Inny przykład: losowanie kart z talii.
| | | | 52! | |
Np. losujemy 3 karty z talii 52 kart, mamy C523= | = |
| =22100 możliwości. |
| | | 3!*49! | |
Tu też są zbiory. Załóżmy, że wylosowaliśmy np. asa pik, króla kier i damę karo. Jako gracz
niezależnie od kolejności wylosowania tych kart tak samo możemy nimi zagrać w danej grze
karcianej, dlatego tutaj tez mamy zbiory, a więc kombinacje.
Pozdrawiam.
Bardzo prosze 
