udowodnij nierówność dzik: Wykaż, że dla liczb dodatnich x,a,b,c zachodzi nierówność:(x+a)(x+b)(x+c)≥(x+1)³, jeżeli a+b+c=3. Dochodzę do: 3x+1≥x(ab+ac+bc)+abc i dalsze obliczenia (np. podnoszenie obu stron do kwadratu, tylko komplikuje sytuację.

Vax:

	1
Nierówność powinna być w drugą stronę (np dla a=b=		, c=2 , x=1 nie działa)
	2

Logarytmując stronami dostajemy równoważnie (bo lnx jest rosnąca dla x>0): ln(x+a)+ln(x+b)+ln(x+c) ≤ 3ln(x+1), ale f(x) = lnx jest wklęsła dla x>0, więc z nierówności Jensena:

	x+a+x+b+x+c
ln(x+a)+ln(x+b)+ln(x+c) ≤ 3ln(		) = 3ln(x+1) cnd.
	3

dzik: Do Vax, tak nierówność powinna być w drugą stronę. Czy jesteś w stanie rozwiązać to zadanie w oparciu o wiedzę uzyskaną w klasie 1LO. Chodzi o to, że to zadanie jest rozwiązywane w klasie 1 LO i nie ma tu jeszcze informacji o logarytmach. Może uda ci się coś wymyślić, może rozwiązanie jest banalne.

Vax: No to z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:

	3x+3		(x+a)+(x+b)+(x+c)
x+1 =		=		≥ 3√(x+a)(x+b)(x+c)
	3		3

Po podniesieniu danej nierówności do sześcianu dostajemy tezę.

dzik: Do Vax: teraz to się rozumie. Dzięki. Pozdrawiam. Może będziesz umiał rozwiązać jeszcze to:udowodnij,że zarówno 120308 jak i 120333....33308 są podzielne przez 19. Trójek jest 2012. Od razu powiem, że nie chodzi mi o rozwiązanie typu: 120308=19*6332 1203308=19*63332 120333...33308=19*6333...3332 Chodzi mi raczej o jakieś bardziej inteligentne rozwiązanie algebraiczne.

Vax: Pokażemy, że dla dowolnej ilości trójek dana liczba dzieli się przez 19, istotnie (mamy n trójek): 120333...308 = 8 + 100 * ∑_i=0ⁿ⁻¹(3*10ⁱ)+120*10⁽n+2) = 8+300 * ∑_i=0ⁿ⁻¹10ⁱ +

	10n−1		10n+2−100
120*10(n+2) = 8+300*		+120*10n+2 = 8+		+120*10n+2 =
	9		3

	24+10n+2−100+360*10n+2		361*10n+2−76		19*10n+2−4
		=		= 19 *
	3		3		3

Łatwo się przekonać, że dany ułamek jest liczbą całkowitą, więc skoro jednym z czynników danego wyrażenia jest 19 to dane wyrażenie się przez nie dzieli cnd.

dzik: Do Vax: w drugiej linijce twojego dowodu jest ....*10(n+2), które następnie zamienia się na...10ⁿ⁺²?Jeżeli możesz zaproponować jakieś prostsze rozwiązanie tego zagadnienia, to bardzo będę wdzięczny, aktualne jest zbyt skomplikowane i nieprzekonujące, jednocześnie muszę opierać się przy rozwiązaniu na wiedzy zdobytej w klasie 1. Dzięki.

Vax: Tam jest 10ⁿ⁺², po prostu klamra mi się nie domknęła A co do rozwiązania to nie jest ono tak naprawdę skomplikowane, po prostu chcemy zapisać w innej postaci naszą liczbę dla dowolnej ilości 3, popatrzmy na poszczególne przypadki (jak mamy 1 trójkę itd..): (Dla n=1) 120308 = 8 + 300 + 120*10³ (Dla n=2) 1203308 = 8 + (300+3000) + 120*10⁴ (Dla n=3) 12033308 = 8 + (300+3000+30000) + 120*10⁵ ... (Dla n) 12033...308 = 8 + (300+3000+...+300*10ⁿ⁻¹) + 120*10ⁿ⁺² (*) Suma w nawiasie jest sumą ciągu geometrycznego, gdzie a₁ = 300, q = 10:

	1−10n		300(10n−1)		100(10n−1)		10n+2−100
Sn = 300 *		=		=		=
	1−10		9		3		3

Więc:

	10n+2−100		24+10n+2−100+360*10n+2
(*) = 8 +		+120*10n+2 =		=
	3		3

	361*10n+2−76		19*10n+2−4
		= 19 *
	3		3

Pozdrawiam

dzik: Do Vax: dzięki za rozpisanie, ale to zadanie nie mogę rozwiązać w oparciu o zagadnienia dotyczące ciągów. Po prostu w 1 klasie nie omawia się jeszcze ciągów. W każdym razie dzięki za rozpisanie i wyjaśnienie, jeżeli udałoby Ci się rozwiązać to zadania w jakiś inny sposób, to z góry dziękuję. Chodzi o jakąś krótką, błyskotliwą metodę. Pozdrawiam.