Algebra liniowa i geometria analityczna Żeli papą: Udowodnić, że każdy ortogonalny układ niezerowych wektorów {u₁, u₂, u₃,..., u_k} przestrzeni Rⁿ dla k ≤ n jest liniowo niezależny. Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Nie mam pojęcia jak to zrobić. Mógłby ktoś wytłumaczyć?

f: układ wektorów jest LN, gdy nie możemy dobrać ciągu skalarów α_k, takiego, że ∑α_k u_k = 0 (conajmniej jedno α≠0) wektory u są ortogalne względem siebie, czyli ⋀ k,l < u_k , u_l > = 0 niewprost, załóżmy, że są LZ wtedy istnieje taka kombinacja liniowa ∑α_k u_k = 0 przemnóżmy skalarnie przez jakiegoś wektora u_l , takiego, że α_l ≠ 0 (conajmniej 2 takie istnieją) <∑α_k u_k , u_l >= <0,u_l> z liniowości iloczynu skalarnego: ∑α_k <u_k , u_l >= <0,u_l> = 0 ponieważ l ≠ k <u_k , u_l > = 0 (z orotogonalności) otrzymujemy: α_l<u_l,u_l> = 0 zatem u_l = 0 sprzeczność

f: w drugą strone − liniowo niezależny, to ortogonalny niekoniecznie wystarczy kontrprzykład <(1,2),(1,3)> ≠ 0 spróbujmy dobrać kombinację liniową ( α + β, 2α + 3β ) = (0,0) α + β = 0 2α + 3β = 0 α = −β α = −³₂ β sprzeczność, bo nie może być tak, że α i β są równocześnie zerami czyli {(1,2),(1,3)} są liniowo niezależne