Funkcja kwadratowa Jurek: Zbadaj ilość rozwiązań w zależności od parametru m. (m−1)x² + mx + 1 = 0

ICSP: liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od Δ. Pamiętaj tylko o tym że delty używamy tylko gdy a ≠ 0

asdf: Δ = 0 to 1 rozw. Δ > 0 to 2 rozw. Δ < 0 to brak rozw.

krystek: @asdf i a≠0 agdy m=1?

asdf: a nom, zapomnialem dodac jezeli m = 1 to nie jest to f kw.

Jurek: Wszystko cacy, ja to rozumiem, ale patrzcie Δ= m² − 4m + 4 dla 2 pierwiastów. Δ=16−16 = 0 i co teraz?

ICSP: ech m² − 4m + 4 = (m−2)² ≥ 0 dla każdego m więc : jedno rozwiązanie dla m = 1 oraz m = 2 dwa rozwiazania dla m ∊ R\{1;2}

Jurek: a zera rozwiązań brak, bo delta =0 ?

krystek: @asdf ale jest jedno rozwiązanie!

Jurek: okej, a takie równanie: mx² + (m+1)x + 1 = 0 dla 2 roz. Δ=m² + 2m + 1 − 4m m² − 2m + 1 > 0 Δ = 4 −4 = 0 x0 = 1 dla 2 pier m ∊ R \ {1,0} ?

asdf: wiem, że jest jedno, bo wtedy to jest f. liniowa (y = x + 1), która przecina oś OX w jednym miejscu. Pasuje? Tylko pewnie zawsze znajdziesz jakieś "ale" i przestawisz to w taki sposób, że nie będe mieć racji...

krystek: @Jurek Brak rozwiązań gdy Δ<0 ponieważ Δ=(m−2)² więc nigdy, czyli nie ma takich wartości m aby była ujemna.

Jurek: okej, a przykład, który dałem wyżej jest dobrze ?

krystek: Przepraszam @asdf, jeżeli tak przyjmujesz uwagi .

Basia: asdf nie rozbestwiaj się; teraz nie masz racji zawsze ( jeżeli a zależy od parametru) bada się ten przypadek gdy a=0

Jurek: Czy możecie mi sprawdzić ten przykład, co rozwiązałem go wyżej? dziękuję

krystek: Tak! Δ=(m−1)² można tak

Basia: jeżeli pytanie brzmiało "kiedy .......... ma 2 pierwiastki" to jest dobrze

Jurek: I jeszcze (m+2)x² + m + 3 = 0 moglibyście rozwiązać w zależności od parametru m? Rozwiązałem i nie wiem czy mam dobrze, chciałbym sprawdzić wyniki

krystek: Podaj sprawdzimy!

Jurek: poprawka: (m+2_x² + mx + 3 = 0

krystek: zgubiłeś x

Jurek: No to zrobiłem tak: Δ = m² − 12m − 24 dla 2 pier. Δ=144 + 96 = 240 x1 = 12 + √240 / 2 x2 = 12−√240/2 to m∊ (−nieskończoności ; 12−√240/2) U (12+√240/2) 1 pier. dla m = 12−√240/2 i m=12+√240/2 0 roz. dla m (12−√240/2 ; 12+√240/2)

Jurek: i jezcze jeden pier dla =−2

krystek: √240=√16*15=.. ładniej wygląda. a≠0⇒ m≠−2 zapomniałeś

Jurek: nie, nie, nie, bo ten przykład wygląda tak: (m+2)x² + mx + 3 = 0

Basia: (m+2)x²+mx+3=0 1. m+2 = 0 ⇔ m= −2 −2x+3=0 x = ³₂ dla m= −2 mamy jedno rozwiązanie 2. m≠ − 2 Δ = m² − 4(m+2)*3 = m² − 12m −24 m² − 12m − 24 = 0 Δ_m = 12² + 4*24 = 12*12 + 4*12*2 = 12*4*(3+2) = 12*4*5 = 16*15 √Δ_m = 4√15

	12−4√15		4(3−√15)
m1 =		=		= 2(3−√15)
	2		2

m₂ = 2(3+√15) m ∊ (2(3−√15); 2(3+√15)) ⇒ 0 rozwiązań m = −2; m=2(3−√15); m=2(3+√15) ⇒ 1 rozwiązanie m∊(−∞; 2(3−√15))∪(2(3+√15);+∞) ⇒ 2 rozwiązania

Jurek: czyli zrobiłem dobrze

Jurek: Ale mnie jeszcze jeden przykład ciekawi, a mianowicie (m−1)x² + (m−1)x + 1 = 0 Moglibyście rrozwiązać?

Basia: prawie; nie widzę w Twoim rozwiązaniu m= −2 ⇒ 1 rozwiązanie

Basia: (m−1)x² + (m−1)x + 1 = 0 1. m=1 mamy wtedy 0*x²+0*x+1=0 1=0 sprzeczność czyli dla m=1 nie ma rozwiązania 2. m≠1 Δ=(m−1)² − 4(m−1)*1 = (m−1)(m−1−4) = (m−1)(m−5) odp. m ∊ <1; 5) ⇒ nie ma rozwiązania m = 5 ⇒ jest jedno rozwiązanie m∊(−∞;1)∪(5;+∞) ⇒ są dwa rozwiązania

Jurek: Okej, dziękuję

Jurek: (m+2)x2+mx+3=0 jeszcze nawrócę do tego przykładu. czy dla 2 pierwiastków nie powinno być (− nieskończoności ; −2) U (2 ; 2(3−√15) U (2(3+p(15} ; nieskończoności)

Jurek: Pfu, raczej tak: czy dla 2 pierwiastków nie powinno być (− nieskończoności ; −2) U (−2 ; 2(3−√15) U (2(3+√15 ; nieskończoności)

Jurek: Ponieważ jak uwzględnię tak jak Basia napisała to będzie w tym przedziale −2, a −2 to jest 1 rozwiązanie. Czyli jak?

Jurek: odśiweżam