Algebra i geometria analityczna Żeli papą: Wyznaczyć dopełnienie ortogonalne do wektora w = (2,0,−4,5) . Podać wymiar przestrzeni w^⊥. Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni w^⊥. Mógłby ktoś wytłumaczyć jak to się robi?

Krzysiek: nie wiem czy to jest najkrótszy sposób... niech x=(x₁ ,x₂ ,x₃ ,x₄ ) rozwiązujesz równanie: w◯x =0 i wybierasz dowolny wektor (niech to będzie wektor v)spełniający to równanie ( wyjdzie Tobie nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 3 parametrów) i teraz znów rozwiązujesz ukłąd równań: w◯x =0 v◯x =0 i postępujesz tak jeszcze raz aż otrzymasz 3 wektory (razem z 'w' 4 ) aby wyznaczyć bazę ortonormalną skorzystaj z metody: ortogonalizacja Grama−Schmidta

Żeli papą: Czyli mam zrobić coś takiego? w = (2, 0, −4, 5) x = (x₁, x₂, x₃, x₄) w◯x = 0 (2,0,−4,5)◯(x₁,x₂,x₃,x₄) = 0 2x₁ + 0x₂ − 4x₃ + 5x₄ = 0 2x₁ − 4x₃ + 5x₄ = 0

	5
x1 = 2x3 −		x4
	2

	5
i teraz mam wybrać dowolny wektor (2x3 −		x4, x2, x3, x4)? spełniający rówanie czyli
	2

	1
np.: v = (−		, 1, 1 ,1) Tu mam wątpliwości bo nie wiem co mam zrobić z tym x2 bo
	2

wcześniej było 0 to mogę wstawić cokolwiek?

Krzysiek: możesz taki wziąć jak rozpiszesz ten wektor to masz: x₂ (0,1,0,0) +x₃ (2,0,1,0)+x₄ (−5/2 ,0,0,1) więc pod x₂ ,x₃ x₄ możesz cokolwiek dać (byle ten wektor był różny ode wektora zerowego) więc np. taki wektor można wziąć (0,1,0,0) (łatwiej potem rozwiązywać im więcej zer jest )

Żeli papą: Ok dzięki chyba zrobiłem. Trzeba było podać jeszcze wymiar. Wymiar to 4?

f: nie, masz 3 wektory bazowe

f: zresztą, gdy A ≤ V dimA + dimA^⊥ = dimV